Теорема про симетричність функції Гріна самоспряженої крайової задачі.

Теорема. Функція Гріна самоспряженої крайової задачі є симетричною : .

Доведення. Нехай маємо самоспряжену крайову задачу

(2.58)

За ознакою самоспряженої крайової задачі випливає, що:

1) , тобто диференціальний оператор задачі є самоспряженим.

2) Виконується інтегральна умова для двох функцій, що задовольняють крайовій задачі (2.58):

а саме

(2.59) Функція Гріна для обох розв’язків є однаковою

Тоді, підставляючи ці вирази до співвідношення (2.59), отримаємо наступну рівність:

(2.60)

Можна записати ці повторні інтеграли, як подвійні:

. (2.61)

У першому доданку виразу (2.61) змінимо порядок інтегрування:

З цього випливає рівність

(2.62)

Зведемо позначення , за допомогою якого висновок (2.62) запишемо у вигляді:

. (2.63)

З рівності інтеграла нулю ще не випливає, що Доведемо це, проводячи доведення теореми від протилежного. Нехай , тоді існує деяка точка така, що , та, наприклад, . Оскільки розв’язок крайової задачі, зображений через функцію Гріна, може бути застосований для будь-якої неперервної функції , маємо право вибрати її наступним чином. Припустимо, що відмінна від нуля в околі деякої точки , а зовні цієї окрестности вона дорівнюватиме нулеві: . Аналогічну поведінку має функція в околі точки . Такий вибір функцій базується на тому, що розв’язок існує для будь-якої неперервної функції у правій частині диференціального рівняння. У такому випадку, не обмежуя загальності міркувань, можемо вважати, що та . Тоді рівність (2.63) прийме вигляд