При гармонических колебаниях

Задача 1.4. Материальная точка массой т совершает колебания по закону х(t) = аcoswt. Определите зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии.

х(t) = аcoswt	Решение. Начнем с кинетической энергии: . Подставляя сюда υх(t) из формулы (1.4), получим
К(t) = ? П(t) = ? Е(t) = ?

.

Запомним:

. (1.10)

Рис. 1.6   Рис. 1.7

Потенциальная энергия равна работе квазиупругой силы по перемещению материальной точки из данной точки с координатой х(t) в нулевую точку. Построим график зависимости величины квазиупругой силы от координаты х (рис. 1.6).

Заметим, что направление силы при этом совпадает с направлением перемещения (рис. 1.7). Из рисунка видно, что работа, которую совершит квазиупругая сила , проекция которой на ось х равна F_x = –kx при перемещении материальной точки с координатой х в точку с координатой 0 – это положительная величина, численно равная площади под графиком |F_x(x)| на участке [0; x]:

.

Эта работа и есть потенциальная энергия в точке х(t):

.

Запомним:

. (1.11)

С другой стороны, согласно формуле (1.6)

.

Подставив это значение k в уравнение (1.11), получим

. (1.12)

Теперь найдем полную энергию:

Е(t) = К(t) + П(t) =

Итак, полная энергия Е не зависит от времени и равна

. (1.13)

Ответ: ;

;

.

СТОП! Решите самостоятельно: А6, В12, В13, С3, С4.

задачи для самостоятельного решения[2]