Задачи средней трудности. В1. Какова частота колебаний поршней в цилиндрах двигателя автомобиля «Жигули» при скорости движения автомобиля 120 км/ч

В1. Какова частота колебаний поршней в цилиндрах двигателя автомобиля «Жигули» при скорости движения автомобиля 120 км/ч, если диаметр колес 60 см и частота вращения коленчатого вала в 4,3 раза больше частоты вращения колес?

Рис. 1.8

В2. Уравнение движения гармонического колебания имеет вид: х = 0,02cospt. Построить график зависимости х(t). Найти смещение через 0,25 с; через 1,25 с. Ответы пояснить с помощью графика.

В3. При каких фазах смещение по модулю равно половине амплитуды?

В4. По графику, приведенному на рис. 1.8: а) найти амплитуду, период, частоту и циклическую частоту колебаний; б) написать уравнение зависимости х(t); в) найти смещение колеблющейся точки при фазах p/2 и рад; г) найти смещение через 0,1 и 0,15 с после начала отсчета времени.

В5. Амплитуда колебаний 10 см, в частота 0,5 Гц. Написать уравнение зависимости х(t) и построить его график. Найти фазу и смещение через 1,5 с. Определить, через сколько времени смещение будет 7,1 см.

В6. При фазе p/3 рад смещение было равно 1 см. Найти амплитуду колебаний и смещение при фазе рад.

В7. Составить уравнение гармонического колебания, если амплитуда колебания 4 см, а период – 0,01 с, х₀ = 0. колебания происходят по закону х = acos(wt + a).

В8. Колебательное движение точки описывается уравнением х = =0,05cos20pt. Вычислив первую и вторую производные, написать уравнения зависимости скорости и ускорения от времени: υ_х(t) и a_x(t). Найти координату, скорость и ускорение спустя с после момента t = 0.

В9. Амплитуда колебаний конца ножки камертона 1 мм, а частота колебаний 500 Гц. Написать уравнения х(t), υ_х(t) и a_x(t). Каковы наибольшие значения скорости и ускорения? В каких положениях достигаются эти значения?

В10. Написать уравнение гармонического колебания тела, если его амплитуда 5 см, период 4 с, начальная фаза равна p/4, а также зависимости υ_х(t) и a_x(t). колебания происходят по закону х = acos(wt + a).

В11. Тело совершает колебания по закону х = 0,3cosp(t + 0,5) м. Найти амплитуду, период, начальную фазу колебаний и ускорение в момент времени t = 0,5 с.

В12. Человек массой 80 кг качается на качелях. Амплитуда его колебания 1 м. За 1 мин он совершает 15 колебаний. Найти кинетическую и потенциальную энергию через 1/12 периода.

В13. Материальная точка массой 10 г колеблется по закону х = =0,05sin(0,6t + 0,8). Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Задачи трудные

С1. Сравнить время прохождения колеблющейся точкой первой и второй половины амплитуды: t₁ : t₂ = ? Начальное смещение равно амплитуде х(0) = а.

С2. Какую часть периода груз маятника находится в пределах 1 см от положения равновесия, если амплитуда его колебания равна 2 см?

С3. Шарик массой 10 г совершает гармонические колебания с амплитудой А = 0,2 м и периодом Т = 4 с. В момент t₀ = 0 х = А. Найти кинетическую и потенциальную энергии в момент времени t = 1 с.

С4. Написать уравнение гармонического колебания тела, если его полная энергия 3×10^–5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, 1,5 мН, период колебания 2 с и начальная фаза 60°. колебания происходят по закону х = acos(wt + p/3).

Пружинный маятник

Автор: Рассмотрим такую задачу. На гладкой поверхности лежит груз массой т, прикрепленный к стене пружиной жесткостью k (рис. 2.1). Как будет двигаться груз, если его слегка отвести в сторону и отпустить?

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Читатель: По-моему, возникнет ситуация, абсолютно аналогичная той, что мы рассмотрели в § 1: на груз начнет действовать сила упругости, которая по закону Гука прямо пропорциональна смещению х и направлена к положению равновесия, причем F_x = –kx (рис. 2.2).

Автор: Совершенно верно! А сила упругости в данном случае будет играть роль той самой квазиупругой «возвращающей» силы, которую мы ввели в рассмотрение в § 1!

Читатель: Но тогда для нашего груза будут справедливы все полученные в § 1 результаты: он будет колебаться по закону

х = acoswt,

где а – амплитуда, а – циклическая частота. (Я учел, что начальная фаза равна нулю: a = 0.)

Автор: Верно! А каков будет период колебаний?

Читатель: .

Автор: Эту формулу надо запомнить:

Рис. 2.3

. (2.1) Теперь у меня следующий вопрос: а как изменится период колебаний, если груз повесить на той же пружине, как показано на рис. 2.3? Читатель: Здесь надо будет учесть действие силы тяжести: в положении равновесия пружина будет растянута, должно выполняться равенство mg = Fупр. А что касается периода колебаний…, даже не знаю…

Автор: Вы правы. Если груз подвешен на пружине, то, помимо силы упругости, на его колебания будет влиять сила тяжести. Но ее действие можно исключить из рассмотрения таким прие­мом.

Рис. 2.4

Пусть в положении равновесия пружина удлини­лась на расстояние х₀от недеформированного положения (рис. 2.4). Ясно, что в положении равновесия mg = kx₀. Если пружину растянуть еще на расстояние х, считая от этой точки, то проекция равнодействующей всех сил, приложенных к грузу на ось х, будет равна

F_x = –k(х₀ + х)+ mg = –kх₀ – kх + mg = (mg – kx₀) ⁰– kx = –kx.

Таким образом, если начало координат поместить в точ­ку, соответствующую положению равновесия, то все будет происходить так, как если бы на груз действовала только упругая сила пружины F_x = –kх. А значит, период колебаний не изменится.

Задача 2.1. Пружинный маятник колеблется с периодом Т = = 1,0 с. Масса груза т = 1,0 кг. Какова жесткость пружины?

Т = 1,0 с т = 1,0 кг	Решение. Согласно формуле (2.1)
k = ?

Н/м.

Ответ: Н/м.

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А3, В1, С1, С3.

Задача 2.2. Найти проекции ускорения шарика (рис. 2.5) при смещениях х₁ = 2,0 см и х₂ = –0,50 см, если масса шарика т = 100 г и жесткость пружины k = 400 Н/м. В какой точке проекция ускорения равна 10 м/с²?

	Рис. 2.5 Решение. Воспользуемся вторым законом Ньютона в проекции на ось х: тах = –kx Þ ax = – .
х1 = 2,0 см х2 = –0,50 см т = 100 г = 0,100 кг 10 м/с2 k = 400 Н/м
? ? х3 = ?

Тогда

–80 м/с²,

20 м/с²,

–0,25×10^–2 м = –0,25 см.

Ответ: –80 м/с²; 20 м/с²; х₃ = –0,25 см.

СТОП! Решите самостоятельно: В2, В3, С2.

Задача 2.3. Груз, подвешенный на пружине с жесткостью 1,0 кН/м, колеблется с амплитудой 2,0 см. Найти кинетическую и потенциальную энергию при фазе p/3 рад.

k = 1,0 кН/м = 1,0×103 Н/м а = 2,0 см = 2,0×10–2 м j = p/3 рад	Решение. Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины . Если х = аcoswt или (если учесть, что фаза j = wt) х = аcosj, то
К = ? П = ?

5,0×10^–2 Дж.

Полная энергия Е равна максимальному значению потенциальной энергии, то есть Е = П в тот момент, когда груз находится в крайнем положении, а его смещение равно амплитуде: . Поскольку полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергий, то

Е = П + К Þ К = Е – П Þ

.

Подставим численные значения:

Дж.

Ответ: 5,0×10^–2 Дж; Дж.

СТОП! Решите самостоятельно: В4, В5, С3.

Задача 2.4. Тело массой т подвешено на двух пружинах одинаковой длины, но с разными упругими свойствами. Коэффициенты упругости k₁ и k₂. Определите частоту колебаний тела в случаях а и б (рис. 2.6).

Рис. 2.6

F = F₁ + F₂ = k₁Dl + k₂Dl. (1)

С другой стороны, при замене этих двух пружин на одну жесткостью k₀₁ получим

F = k₀₁Dl . (2)

Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим

k₁Dl + k₂Dl = k₀₁Dl Þ k₀₁ = k₁ + k₂.

Запомним: при параллельном соединении жесткость эквивалентной пружины равна сумме жесткостей соединенных пружин:

k₀₁ = k₁ + k₂. (2.2)

Тогда частота колебаний будет равна

.

2. Растянем две последовательно соединенные пружины так, чтобы общее удлинение было равно Dl. Тогда первая пружина удлинится на Dl₁, а вторая – на Dl₂, но при этом

Dl₁ + Dl₂ = Dl. (3)

Заметим, что в этом случае силы натяжения обеих пружин одинаковы:

F = k₁Dl₁ = k₂Dl₂ (4)

(иначе система не находилась бы в равновесии).

При замене этих двух пружин на эквивалентную, жесткостью k₀₂, сила F будет равна

F = k₀₂Dl. (5)

Выразим величины Dl₁ и Dl₂ из (4), а Dl из (5) и подставим в (3), получим

.

Запомним: при последовательном соединении пружин справедливо

. (2.3)

Из (2.2) выразим k₀₂:

. (2.4)

Теперь найдем частоту колебаний для случая последовательного соединения пружин:

.

Ответ: ; .

Автор: Как Вы думаете, чему будет равна жесткость пружины, составленной из п маленьких одинаковых пружин жесткостью k, соединенных последовательно?

Читатель: Если обобщить формулу (2.2) для произвольного п (по-моему, это нетрудно сделать), то получим

.

Автор: Совершенно верно! Жесткость большой пружины будет меньше жесткости каждой маленькой пружины в п раз.

СТОП! Решите самостоятельно: А4, В6, В7.