I этап: Анализ задачи

Назначение этапа:

– понять в целом ситуацию, описанную в задаче;

– выделить условия и требования;

– назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Анализ задачи всегда направлен на её требование, т.е. на вопрос текстовой задачи.

Приёмы анализа содержания задачи:

1. задать специальные вопросы и ответить на них:

Ø о чём задача?

Ø можно ли сразу ответить на вопрос задачи?

Ø что требуется найти в задаче?

Ø что означают те или иные слова в тексте?

Ø что в задаче неизвестно?

Ø что является искомым?

Ø и т.д.

Рассмотрим задачу:

«По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за всё это время собака?»

1. перефразировка текста задачи:

замена данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим.

Это достигается в результате

– отбрасывания несущественной, излишней информации;

– замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замены некоторых терминов описанием содержания соответствующих понятий;

– преобразования текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения.

Особенно эффективно использование данного приёма в сочетании с разбиением текста задачи на смысловые части.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций.

Переформулируем рассмотренную задачу:

Первая часть: «скорость одного мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч»

Вторая часть: «расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км.»

Третья часть: «время движения мальчиков – это время, в течение которого второй мальчик догонит первого, т.е. в течение которого второй мальчик пройдёт на 2 км больше, чем первый»

Четвёртая часть: «скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч. Время движения собаки равно времени движения мальчиков до встречи»

Требование: «определить расстояние, которое пробежала собака»

1. построение вспомогательной модели задачи:

Ø таблица

объекты	скорость	время	расстояние
1-й м. 2-й м. собака	4 км/ч 5 км/ч 8 км/ч	? ч. ? ч. одинаковое ? ч.	? км. ? км., на 2 км. больше 1-го м. ? км.

Ø схематический чертёж

8 км/ч

5 км/ч 4 км/ч

2 км

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1)все ли объекты задачи показаны на модели;

2)все ли отношения между объектами отражены;

3)все ли числовые данные приведены;

4)есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

(лекция 8)

3.4. Приёмы поиска плана решения задачи и его выполнение.

II этап: Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этапа:

– установить связь между данными и исходными объектами;

– наметить последовательность действий.

Приёмы поиска плана решения задачи:

1. разбор задачи по тексту проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от её вопросов.

Ø при разборе задачи от данных к вопросу нужно выделить в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при выполнении первого этапа решения) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Считая это неизвестное данным, надо вновь выделить два взаимосвязанных данных, определить неизвестное, которое может быть найдено по ним, а также соответствующее арифметическое действие и т.д. пока не будет выяснено действие, выполнение которого приводит к получению искомого.

Проведём такой разбор по тексту задачи:

«На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?»

Ø при разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе текста задачи), что достаточно узнать для ответа на вопрос задачи. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

1. разбор задачи по вспомогательной модели может быть проведён по-разному, – в результате получаются различные арифметические способы её решения.

Ø схематический чертёж

шапка

шарф

свитер

I способ:

1) 1200 – 100 – 400 – 100 = 600 (гр.)

2) 600 : 3 = 200 (гр.) – израсходовали на шапку;

3) 200 + 100 = 300 (гр.) – израсходовали на шарф;

4) 300 + 400 = 700 (гр.) – израсходовали на свитер.

II способ:

1) 1200 – 300 = 900 (гр.)

2) 900 : 3 = 300 (гр.) – израсходовали на шарф

3) 300 – 100 = 200 (гр.) – израсходовали на шапку

4) 300 + 400 = 700 (гр.) – израсходовали на свитер

III способ:

1) 1200 – 400 + 100 = 900

2) 900 : 3 = 300 (гр.) – израсходовали на шарф

3) 300 + 400 = 700 (гр.) – израсходовали на свитер

4) 300 – 100 = 200 (гр.) – израсходовали на шапку

Ответ: 200 гр., 300 гр., 700 гр.

Ø таблица

«Сколько деталей получится из 36 кг. металла, если из 12 кг. получается 8 таких же деталей?»

I способ:

1) 12 : 8 = 1,5 (кг.) – масса одной детали

2) 36 : 1,5 = 24 (шт.) – количество деталей.

II способ: (прямая пропорциональность)

1) 36 : 12 = 3 – во столько раз масса 8 деталей меньше, чем масса искомых

2) 8 · 3 = 24 (шт.) – количество деталей

III способ: (пропорция)

8 шт. – 12 кг.

х шт. – 36 кг.

(шт.) – количество деталей

Ответ: 24 детали.

Ø краткое условие

«В первый день туристы прошли 120 км., во второй – ¾ пройденного в первый день, а в третий день на 35 км. больше, чем во второй. Сколько километров прошли туристы за три дня?»

I день – 120 км.

II день – ? км., это ¾ от ? км.

III день – ? км., на 35 км. больше, чем

1) 120 : 4 · 3 = 90 (км.) – во второй день

2) 90 + 35 = 125 (км.) – в третий день

3) 120 + 90 + 125 = 335 (км.) – прошли за три дня

Ответ: 335 километров.

(лекция 9)

III этап: Осуществление плана решения задачи

Назначение этапа:

– выполнить все действия в соответствии с планом;

– найти ответ на требование задачи.

Приёмы осуществления плана решения задачи:

Для текстовых задач, решаемых арифметическим методом, используются следующие приёмы:

- запись по действиям с пояснением;

- запись по действиям без пояснения;

- запись по действиям с во­просами;

- запись в виде выражения.

Рассмотрим примеры различных записей плана решения задачи:

«На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?»

1. запись решения по действиям с пояснением к каждому действию:

1) 56 · 6 = 336 (км) – турист проехал за 6 ч.

2) 336 · 4 = 1344 (км) – осталось проехать туристу

3) 336 + 1344 = 1680 (км) – должен был проехать турист.

1. запись решения по действиям без пояснения:

1) 56 · 6 = 336 (км)

2) 336 · 4 = 1344 (км)

3) 336 + 1344 = 1680 (км)

1. запись решения по действиям с вопросами:

1) сколько километров проехал турист на поезде за 6 часов?

56 · 6 = 336 (км)

2) сколько километров осталось проехать туристу?

336 · 4 = 1344 (км)

3) сколько километров турист должен был проехать?

336 + 1344 = 1680 (км)

1. запись решения в виде выражения:

Запись решения в этой форме осуществляется поэтапно:

– сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом,

– затем составляется выражение и находится его зна­чение.

Так, для рассматриваемой задачи эта форма записи имеет вид:

56 · 6 (км) – расстояние, которое проехал турист на поезде за 6 ч

56 · 6 · 4 (км) – расстояние, которое осталось проехать туристу

56 · 6 + 56 · 6 · 4 (км) – путь, который должен проехать турист

56 · 6 + 56 · 6 · 4 = 1680 (км)

Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в устной форме. Тогда запись решения задачи примет вид:

56 · 6 + 56 · 6 · 4 = 1680 (км)

3.5. Приёмы проверки решения задачи.

IV этап: Проверка решения задачи.

Назначение этапа:

установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Приёмы проверки решения задачи:

ü установление соответствия между результатом и усло­виями задачи;

ü решение задачи другим способом.

 

1. установление соответствия между результатом и условиями задачи:

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

Проверим, используя данный приём, правильность реше­ния задачи о движении туриста.

Мы установили, что турист должен был всего проехать 1680 км. Пусть теперь этот результат будет одним из данных задачи. Далее, как известно, за 6 ч турист проедет 336 км (56 · 6 = 336) и ему останется проехать 1680 – 336 = 1344 (км). Согласно условию задачи это расстояние должно быть в 4 раза больше того, которое турист проехал на поезде за 6 ч. Проверим это, разделив 1344 на 336. Действительно, 1344 : 336 = 4. Следовательно, если найденный результат под­ставить в условие задачи, то противоречий с другими данны­ми, а именно отношением «быть больше в 4 раза», не возни­кает. Значит, задача решена верно.

При использовании данного приёма прове­ряются все отношения, имеющиеся в задаче, и если устанавли­вается, что противоречия не возникает, то делают вывод о том, что задача решена верно.

 

2. решение задачи другим способом:

Пусть при решении задачи каким-то способом получен не­который результат. Если её решение другим способом приво­дит к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача была решена верно.

Заметим, что если задача решена первоначально арифме­тическим способом, то правильность её решения можно про­верить, решив задачу алгебраическим методом.

Не следует также думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность решения обеспечивается прежде всего чёткими и логичными рассуждениями на всех других этапах работы над задачей.

(лекция 10)

3.6. Моделирование в процессе решения текстовых задач.

Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить задачу, надо перевести её на язык математических действий, т.е. построить её математическую модель.

Математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.

Математическая модель ТЗ:

если задача решается

 

арифметическим методом: выражение, либо запись по действиям

алгебраическим методом: уравнение, либо система уравнений

Этапы математического моделирования:

I этап –это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;

II этап– внутримодельное решение, т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения (или системы уравнений);

III этап – интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

 

Пример:

«В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»

I этап: составление уравнения.

Пусть х первоначальное число пассажиров во втором вагоне, тогда число пассажиров в первом вагоне – 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нём осталось 2х – 3 пассажира, а во второй вагон вошли 7 человек, в нём стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то получаем уравнение 2х – 3 = х + 7

 

II этап: решение уравнения.

2х – 3 = х + 7

2х – х = 3 + 7

х = 10

 

III этап: перевод полученного решения.

Во втором вагоне первоначально было 10 человек, а в первом 10 · 2 = 20 человек

 

Самым сложным этапом при математическом моделировании является I этап: перевод текста задачи с естественного языка на математический. Для упрощения этого этапа строят вспомогательную модель – схему, таблицу и др.

<3456789>

---

Дата добавления: 2016-02-16; просмотров: 23832;

---