II. Множества и операции над ними.

 

Цель:

обучения:

обеспечить усвоение студентами понятий: множество, подмножество, элемент множества, характеристическое свойство элементов множества, равные множества, не пересекающиеся множества, пересечение множеств, объединение множеств, вычитание множеств, дополнение множества, законы пересечения и объединения множеств, классификация, разбиение множества на классы, декартово произведение множеств, кортеж, комбинаторика.

добиться усвоения студентами:

ü что любое множество можно задать одним из двух способов;

ü математического языка обозначений;

ü правила разбиения множества на классы;

ü правила нахождения числа элементов в объединении конечных множеств;

ü правила нахождения числа элементов в разности конечных множеств;

ü правила нахождения числа элементов в декартовом произведении конечных множеств;

ü правил комбинаторики (суммы и произведения).

отработать навык:

ü наглядного изображения отношений между множествами – кругами Эйлера;

ü выполнения преобразований, используя свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности;

ü наглядного представления декартова произведения множеств;

ü использования правил комбинаторики.

развития:

– развитие аналитико-синтезирующего мышления: умение классифицировать факты, делать обобщающие выводы;

– развитие познавательных умений: вести конспект;

– развитие коммуникативно-технических умений: нешаблонно, творчески подходить к решению самых разнообразных задач;

– развитие умения работать в должном темпе;

воспитания:

– формирование мотивов учения, положительного отношения к знаниям;

– воспитание эстетических взглядов.

2.1. Понятия множества.

Множество – совокупность объектов, обозначается прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, . . . , Z.

Элементы множества – объекты, из которых образовано множество, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, . . . , z.

элемент

принадлежит множеству: не принадлежит множеству:
   
Пример: М – множество точек окружности К – множество точек круга Пример: Запишите с помощью знаков и , какие из отрезков AB, CD, EF и PH проходят через точку М, а какие через неё не проходят. P B C D M E F A H
  В • • А   • О   • F С  
       

множество

пустое с одним элементом конечное бесконечное
не имеет элементов, обозначается Ø состоит из одного элемента ü множество цифр; ü множество месяцев в году. ü множество натуральных чисел; ü количество звёзд на небе.

Числовые множества:

N – натуральные числа;

Z – целые числа;

Q – рациональные числа;

R – действительные числа.

 

2.2. Способы задания множеств.

способы задания множеств

перечисление всех элементов множества (для конечных множеств с небольшим количеством элементов) указание характеристического свойства элементов (для бесконечных множеств и множеств с большим количеством элементов)
Пример: а) множество цифр: ;
б) множество натуральных чисел, меньших 11: В = = {b | b N и b < 11}
перечислили все элементы указали характеристическое свойство элементов
в) множество действительных чисел, больше или равных – 15,6:
     

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

 

2.3. Операции над множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера.

 

I Множество В называется подмножествоммножества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А, следовательно Ø пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. Ø ; Ø любое множество является подмножеством самого себя, т.е. .   «В – подмножество А» «В включается в А»
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 68: № 1.
II Множества А и В называются равными, если и , следовательно Ø равные множества состоят из одних и тех же элементов; Ø порядок записи элементов множества не существен.     А = В
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 68: № 2.
III Пересечениеммножеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В, т.е. и    
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 72: № 6; 7; 8; 10.
IV Множества А и В не пересекаются, если они не имеют общих элементов, т.е. их пересечение пусто, т.е. если А В = Ø, то А ∩ В А В
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 68: № 6 (1; 2; 4).
V Объединениеммножеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В, т.е. или
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 74: № 6; 7; 10.
VI Пусть . Дополнениеммножества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. если , то В′А = , но
VII Пусть . Разностьюмножеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В, т.е. если , то , но   А В А\В
  Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 79: № 3; 11.

2.4. Понятие разбиения множества на классы.

 

Классификация – это распределение объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Пример:

а) математика:

- натуральные числа: чётные и нечётные;

- углы на плоскости: прямые, острые и тупые.

- и т.п.

б) биология: классификация животных;

в) ботаника: классификация растений.

 

Множество Х разбито на классы Х1, Х2, . . . , Хп, если:

1. подмножества Х1, Х2, . . . , Хп попарно не пересекаются (т.е. не имеют общих элементов);

2. объединение подмножеств Х1, Х2, . . . , Хп совпадает с множеством Х (т.е. ).

Пример: множество учащихся школы разбито на классы:

1. один тот же ученик не может одновременно обучаться в разных классах;

2. объединив учащихся всех классов получим учеников всей школы.

 

Замечание: если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию (разбиение множества на классы) считают неправильной.

Пример:

Рассмотрим множество натуральных чисел N. Нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3» - это свойство позволяет выполнить разбиение множества N на два класса (подмножества):

– числа, кратные 3; N

– числа не кратные 3.

Выделенные подмножества не пересекаются,

а их объединение совпадает с множеством N.

 

Замечание: если на множестве Х задано одно свойство,

то это множество разбивается на два класса:

первый – это класс объектов, обладающих этим свойством;

второй – дополнение первого класса до множества Х (такая классификация называется дихотомической – от греческого dichotomia – сечение на две части).

 

Пример:

Рассмотрим множество натуральных чисел N. Разобьём его на классы «числа, кранные 3» и «числа, кратные 5».

А – подмножество чисел, кратных 3; А В

В – подмножество чисел, кратных 5;N

I – подмножествочисел, кратных 3 и 5;I

II – подмножество чисел, кратных 3 и не кратных 5;

III – подмножество чисел, кратных 5 и не кратных 3;

IV – подмножество чисел, не кратных 3 и не кратных 5. IV

 

2.5. Задачи, связанные с операциями над конечными множествами .

 

Пусть число элементов конечного множества А будет обозначено символом п(А).

Например, если , то можно записать, что п(А)=5, и сказать, что в множестве А содержится 5 элементов.

 

Пример:

Пусть даны множества: и

Имеем: п(А)=3, п(В)=4 и Ø

Получаем: , следовательно .

 








Дата добавления: 2016-02-16; просмотров: 3636; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2022 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.022 сек.