II. Множества и операции над ними.

– развитие умения работать в должном темпе;

воспитания:

– формирование мотивов учения, положительного отношения к знаниям;

– воспитание эстетических взглядов.

2.1. Понятия множества.

Множество – совокупность объектов, обозначается прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, . . . , Z.

Элементы множества – объекты, из которых образовано множество, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, . . . , z.

элемент

принадлежит множеству:	не принадлежит множеству:
Пример: М – множество точек окружности К – множество точек круга	Пример: Запишите с помощью знаков и , какие из отрезков AB, CD, EF и PH проходят через точку М, а какие через неё не проходят. P B C D M E F A H
В • • А   • О   • F • С

множество

пустое	с одним элементом	конечное	бесконечное
не имеет элементов, обозначается Ø	состоит из одного элемента	ü множество цифр; ü множество месяцев в году.	ü множество натуральных чисел; ü количество звёзд на небе.

Числовые множества:

N – натуральные числа;

Z – целые числа;

Q – рациональные числа;

R – действительные числа.

2.2. Способы задания множеств.

способы задания множеств

перечисление всех элементов множества (для конечных множеств с небольшим количеством элементов)	указание характеристического свойства элементов (для бесконечных множеств и множеств с большим количеством элементов)
Пример: а) множество цифр: ;
б) множество натуральных чисел, меньших 11: В = = {b | b N и b < 11}
перечислили все элементы	указали характеристическое свойство элементов
в) множество действительных чисел, больше или равных – 15,6:

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

2.3. Операции над множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера.

I	Множество В называется подмножествоммножества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А, следовательно Ø пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. Ø ; Ø любое множество является подмножеством самого себя, т.е. .	«В – подмножество А» «В включается в А»
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 68: № 1.
II	Множества А и В называются равными, если и , следовательно Ø равные множества состоят из одних и тех же элементов; Ø порядок записи элементов множества не существен.	А = В
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 68: № 2.
III	Пересечениеммножеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В, т.е. и
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 72: № 6; 7; 8; 10.
IV	Множества А и В не пересекаются, если они не имеют общих элементов, т.е. их пересечение пусто, т.е. если А ∩ В = Ø, то А ∩ В	А ∩ В
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 68: № 6 (1; 2; 4).
V	Объединениеммножеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В, т.е. или
Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 74: № 6; 7; 10.
VI	Пусть . Дополнениеммножества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. если , то В′А = , но
VII	Пусть . Разностьюмножеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В, т.е. если , то , но	А В А\В
	Пример: Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, «Основы начального курса математики». стр. 79: № 3; 11.

2.4. Понятие разбиения множества на классы.

Классификация – это распределение объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Пример:

а) математика:

- натуральные числа: чётные и нечётные;

- углы на плоскости: прямые, острые и тупые.

- и т.п.

б) биология: классификация животных;

в) ботаника: классификация растений.

Множество Х разбито на классы Х₁, Х₂, . . . , Х_п, если:

1. подмножества Х₁, Х₂, . . . , Х_п попарно не пересекаются (т.е. не имеют общих элементов);

2. объединение подмножеств Х₁, Х₂, . . . , Х_п совпадает с множеством Х (т.е. ).

Пример: множество учащихся школы разбито на классы:

1. один тот же ученик не может одновременно обучаться в разных классах;

2. объединив учащихся всех классов получим учеников всей школы.

Замечание: если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию (разбиение множества на классы) считают неправильной.

Пример:

Рассмотрим множество натуральных чисел N. Нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3» - это свойство позволяет выполнить разбиение множества N на два класса (подмножества):

– числа, кратные 3; N