Сложение гармонических колебаний

Одинаковых частот

Сложение колебаний одинаковых частот проще всего осуществить с помощью так называемой векторной диаграммы. Построение векторной диаграммы основано на известном факте: проекция результирующего вектора равна сумме про­екций слагаемых векторов. Поэтому сложение гармонических колебаний

х₁ = a cos(wt + j₀₁) и х₂= b cos(wt + j₀₂) (16.16)

Рис. 16.17

осуществляется так. Строят векто­ры и ,изображающие первое и второе колебания (рис. 16.17). Их модули равны амплитудам складываемых колебаний, а угол между ними, равный

j_с = j₀₂ – j₀₁,

представляет собой сдвиг фаз меж­ду этими колебаниями.

Так как частоты складываемых колебаний равны, то угол j_с между векторами и не меняется.

Проекция суммарного вектора представляет собой ре­зультирующее колебание:

х = х₁ + х₂ = сcos(wt + j₀). (16.17)

Оно происходит с той же частотой w, что и колебания х₁и х₂. Модуль с вектора равен амплитуде результирующих колебаний. По теореме косинусов для треугольника ОСА получим

. (16.18)

Амплитуда результирующего колебания зависит от амп­литуд складываемых колебаний а и b и сдвига фаз между ними.

Пример. Найти амплитуду колебания х(t) = x₁(t) + x₂(t), где x₁(t) = Acoswt, x₂(t) = Bsinwt, а также сдвиг фаз между колебаниями х₁(t) и x₂(t).

1. Согласно известной тригонометрической формуле sinwt = , поэтому x₂(t) .

2. Изобразим на векторной диаграмме первое колебание вектором , а второе – вектором в момент t = 0 (рис. 16.18). (второе колебание отстает от первого на p/2, векторы вращаются против часовой стрелки.) Тогда результирующее колебание изобразится вектором . Модуль этого вектора равен амплитуде результирующего колебания х(t), а сдвиг по фазе между векторами и – угол j – легко найти из прямоугольного треугольника, образованного векторами и :

tgj = Þ j = arctg .

Рис. 16.18

Заметим, что поскольку векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью w, то их взаимное расположение со временем не меняется. Поэтому и величину С и сдвиг по фазе j можно найти, изобразив векторы и в любой момент времени (рис. 16.19).

Рис. 16.19

СТОП! Решите самостоятельно: С3.

Построим векторные диаграммы для уже рассмотренных нами простейших цепей переменного тока.

Рис. 16.20

В случае на рис. 16.20 ток и напряжение колеблются в одной фазе.

В случае на рис. 16.21 напряжение отстает от тока на p/2.

В случае на рис. 16.22 напряжение опережает ток на p/2.

Рис. 16.21 Рис. 16.22

RL-цепь

Рис. 16.23

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенного резистора сопротивлением R и катушки с индуктивностью L (рис. 16.23). Переменное напряжение изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Прежде всего заметим, что ток в любой момент времени один и тот же, и изменяется он с той же частотой w, что и напряжение. Кроме того, можно утверждать, что в момент времени t общее напряжение равно сумме напряжений на резисторе и катушке:

u(t) = u_R(t) + u_L(t).

Рис. 16.24

Попробуем найти: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на резисторе U_R; 3) амплитуду напряжения на катушке U_L; 4) сдвиг фаз j (если он есть) между током и общим напряжением; 5) функцию i(t).

Поскольку очевидно, что колебания u(t), u₀(t), u_с(t) и i(t) происходят с одинаковой циклической частотой w, воспользуемся векторной диаграммой. Сначала изобразим колебания тока вектором (рис. 16.24). Направим этот вектор горизонтально.

Читатель: Но тогда получается, что i(t) = I₀coswt, т.е. начальная фаза тока равна нулю! А откуда мы это знаем?

Автор: А я не утверждаю, что вектор занимает указанное положение в начальный момент времени. Но ведь наверняка в какой-то момент времени он такое положение займет. Вот в этот момент мы его и изобразили. А теперь все остальные векторы пусть под него «подстраиваются».

Рис. 16.25

Колебания напряжения на резисторе совпадает с током по фазе, поэтому вектор совпадает по направлению с вектором . А вот напряжение на катушке опережает ток на p/2, поэтому вектор направлен вертикально вверх (см. рис. 16.22). Тогда результирующее напряжение, равное сумме напряжений на катушке и резисторе, будет изображаться вектором (рис. 16.25).

По теореме Пифагора из DАОВ имеем:

Отсюда

. (16.19)

Величину

Z_RL = (16.20)

назовем полным сопротивлением RL-цепи. Тогда

. (16.21)

Разделив обе части равенства (16.21) на , получим

. (16.21а)

Воспользуемся законом Ома для амплитудных значений тока и напряжения на сопротивлениях R и Х_L:

. (16.22)

. (16.23)

Сдвиг по фазе между напряжением и током находим из DОАВ (cм. рис. 16.25):

tgj =

. (16.24)

Поскольку ток отстает от напряжения на j, то если u(t) = = U₀coswt, тогда

i(t) = I₀cos(wt – j). (16.25)

Заметим, что сумма действующих значений напряжения на катушке и резисторе не равна общему действующему напряжению, потому что, как легко видеть из DОАВ (см. рис. 16.25), U_R + U_L > U₀, а значит, , т.е. U_Rд + U_Lд > U_0д. И это легко понять, если учесть, что напряжения на резисторе и катушке всегда имеют разные фазы (разность фаз всегда равна p/2). Поэтому для действующих значений напряжений справедливо другое соотношение:

. (16.26)

Задача 16.7. Когда к катушке подвели постоянное напряжение 10 В, сила тока в катушке была равна 1,0 А. Такая же сила тока протекает по этой катушке, если к ней подвести переменное напряжение 50 В. Какова индуктивность катушки? Как изменится сила тока в каждом из указанных случаев, если из катушки вынуть железный сердечник? Частота тока n = 50 Гц.

U1 = 10 B I1 = 1,0 A Uд = 50 В Iд = 1,0 А n = 50 Гц	Решение. В первом случае ток постоянный, поэтому , (1) R – активное сопротивление катушки. Во втором случае цепь соответствует схеме, показанной на рис. 16.23: катушку, обладающую актив-
L = ?

ным сопротивлением R, можно представить как «идеальную» катушку индуктивностью L с нулевым активным сопротивлением, соединенную последовательно с активным сопротивлением R. Тогда по формуле (16.21а)

, (2)

где по формуле (16.20)

Z_RL = . (3)

Подставляя (3) в (2), получим

Подставляя R из (1), получим

Если из катушки вынуть железный стержень, то в случае постоянного тока – ничего не изменится. В случае переменного тока индуктивность L, а значит, общее сопротивление сильно уменьшится, и ток возрастет.

Ответ: » 0,16 Гн.

СТОП! Решите самостоятельно: В23–В25, С7–С9, С15.

Рис. 16.26

RC-цепь

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенного резистора сопротивлением R и конденсатора емкостью С (рис. 16.26). Переменное напряжение на выходе изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Как и в случае RL-цепи, найдем: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на резисторе U_R; 3) амплитуду напряжения на конденсаторе U_С; 4) сдвиг фаз j между током и общим напряжением; 5) функцию i(t).

Рис. 16.27   Рис. 16.28

Изобразим на векторной диаграмме колебания тока вектором , колебания напряжения на резисторе – вектором , колебания напряжения на конденсаторе – вектором . При этом учтем (см. рис. 16.21), что напряжение на конденсаторе отстает от тока на p/2 (рис. 16.27).

Поскольку в любой момент времени t u(t) = = u_R(t) + u_C(t), то вектор результирующего напряжения равен = + . Из DОАВ (рис. 16.28) по теореме Пифагора получим

Тогда

, (16.27)

или

. (16.28)

Для действующих значений справедливо

, (16.28а)

где Z_RC – полное сопротивление RC-цепи:

. (16.29)

Тогда согласно закону Ома

. (16.30)

. (16.31)

Сдвиг по фазе между напряжением и током находим из DОАВ (cм. рис. 16.28):

tgj =

. (16.32)

Поскольку в данном случае ток опережает напряжение на j, то если u(t) = U₀coswt, тогда

i(t) = I₀cos(wt + j). (16.33)

Рис. 16.29

Задача 16.8. В цепи переменного тока (рис. 16.29) показания первого и второго вольтметров U₁ = 12 В и U₂ = 9 В. Каково показание третьего вольтметра?

Решение. Нам надо найти действующее значение результирующего напряжения U_д в RC-цепи. Обозначим значение действующего напряжения на конденсаторе U₁, на резисторе – U₂, тогда амплитудные значения напряжений на конденсаторе и резисторе равны U_C = U₁ , U_R = U₂ .

Амплитудное значение результирующего напряжения (см. рис. 16.28)

,

а искомое действующее значение общего напряжения (а именно его показывает третий вольтметр) равно

В.

Ответ: В.

СТОП! Решите самостоятельно: А13, В26, В27.

LC- цепь

Рис. 16.30

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С и катушки с индуктивностью L (рис. 16.30).

Пусть переменное напряжение в сети изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Попробуем найти: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на катушке U_L; 3) амплитуду напряжения на конденсаторе U_С; 4) сдвиг фаз j между током и общим напряжением; 5) функцию i(t).

Рис. 16.31

Изобразим на векторной диаграмме (рис. 16.31) колебания тока вектором , колебания напряжения на катушке – вектором , колебания напряжения на конденсаторе – вектором . При этом учтем, что напряжение на катушке опережает ток на p/2 (см. рис. 16.22), а напряжение на конденсаторе отстает от тока на p/2 (см. рис. 16.21).

Рис. 16.32

Поскольку в любой момент времени t u(t) = u_C(t) + u_L(t), то вектор результирующего напряжения = + будет либо опережать ток по фазе на p/2, если | | < | | (рис. 16.32, а), либо отставать на p/2, если | | > | | (рис. 16.32, б).

В общем случае

U₀ = |U_C – U_L| = |I₀X_C – I₀X_L| = I₀ |X_C – X_L| = ,

отсюда

. (16.34)

Величину

(16.35)

назовем полным сопротивлением LC-цепи. Тогда можно записать

. (16.36)

Для амплитуд U_C и U_L справедливо

. (16.37)

. (16.38)

Сдвиг по фазе между напряжением и током равен:

(ток опережает напряжение), если Х_С > X_L;

(ток отстает от напряжения), если Х_С < X_L.

Соответственно, функция i(t) имеет вид

(16.39)

Задача 16.9. Найти полное сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора емкостью С = 0,10 мкФ и катушки с индуктивностью L = 0,50 Гн, при частоте тока n = = 1,0 кГц. При какой частоте n₀ полное сопротивление цепи равно нулю?

С = 0,10 мкФ = = 1,0×10–7 Ф L = 0,50 Гн n = 1,0 кГц	Решение. Полное сопротивление найдем по формуле (16.35):
n0 = ?

» 1,6×10³ Ом = 1,6 кОм.

Если Z_LC = 0, то

Ответ: 1,6 кОм; .

СТОП! Решите самостоятельно: В28, В29, С10, С11.

RLC-цепь

Рис. 16.33

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, резистора сопротивлением R и катушки с индуктивностью L (рис. 16.33).

Пусть переменное напряжение в сети изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Попробуем найти: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на конденсаторе U_С; 3) амплитуду напряжения на катушке U_L; 4) амплитуду напряжения на резисторе U_R; 5) сдвиг фаз j между током и общим напряжением; 6) функцию i(t).

Рис. 16.34

Изобразим на векторной диаграмме (рис. 16.34) векторы , , , , как мы уже делали в предыдущих случаях, с учетом сдвига фаз между колебаниями: отстает от на p/2, опережает на p/2, имеет одну фазу с .

Введем вектор = + . Если U_L > U_C, то вектор направлен вверх (рис. 16.35, а), а если U_L < U_C, то вектор направлен вниз (рис. 16.35, б).

Рис. 16.35

Амплитуду напряжения U₀ находим из DАОВ на рис. 16.35, а и б:

,

где U_LC = |U_L – U_C|. Тогда

. (16.40)

Величину

Z = (16.41)

назовем импедансом. Тогда можно записать:

. (16.42)

Для амплитуд напряжений U_R, U_L, U_C справедливы формулы:

, (16.43)

, (16.44)

. (16.43)

Сдвиг фаз между током и общим напряжением находим из DОАВ (cм. рис. 16.35):

tgj =

. (16.46)

В случае X_L > X_C ток отстает от напряжения на j, поэтому если u(t) = U₀coswt, тогда

i(t) = I₀cos(wt – j).

В случае X_L < X_C ток опережает напряжение на j, поэтому если u(t) = U₀coswt, тогда

i(t) = I₀cos(wt + j).

Задача 16.10. Электрическая цепь состоит из резистора сопротивлением 4 Ом, катушки с индуктивным сопротивлением 8 Ом и конденсатора с емкостным сопротивлением 5 Ом, соединенных между собой последовательно. К концам цепи приложено напряжение 120 В. Найти силу тока в цепи и напряжение на всех участках, а также сдвиг фаз между током и напряжением. Все значения точные.

R = 4 Ом XL = 8 Ом XC = 5 Ом Uд = 120 В	Решение. Заметим, что поскольку Uд = и Iд = , то из формул (16.42)–(16.45) легко получить аналогичные формулы для действующих значений тока и напряжений: А.
Iд = ? URд = ? ULд = ? UCд = ? j = ?

U_Rд = I_дR = 24 А × 4 Ом = 96 В,

U_Lд = I_дХ_L = 24 А × 8 Ом = 192 В,

U_Cд = I_дХ_С = 24 А × 5 Ом = 120 В,

tgj = = 0,75, j = arctg » 37°.

Поскольку X_L > X_C, то ток отстает от напряжения по фазе на j » 37°.

Ответ: I_д = 24 А; U_Rд = 96 В; U_Lд = 192 В; U_Cд = 120 В; j » 37°.

СТОП! Решите самостоятельно: А14, А15, В31–В33, С12–С14.