Индуктивное сопротивление

Рассмотрим экспериментальные факты.

а б Рис. 16.12

1. Включим в цепь постоянного тока последовательно электрическую лампу и катушку индуктивности (рис. 16.12, а).

Лампочка будет гореть практически тем же накалом, как при отсутствии катушки (рис. 16.12, б), т.е. постоянный ток как бы «не замечает» катушку. И это неудивительно: если проволока достаточно толстая, то активное сопротивление катушки очень мало.

Рис. 16.13

2. Если же на последовательно соединенные лампочку и катушку подать переменное напряжение с действующим значением, равным постоянному напряжению, то накал лампочки значительно уменьшится (рис. 16.13). А это значит, что действующее значение силы тока существенно меньше значения постоянного тока в первом случае.

3. Если теперь постепенно вытягивать из катушки железный сердечник, то накал лампы будет возрастать, т.е. уменьшая индуктивность катушки, мы увеличиваем действующее значение силы тока в цепи.

Автор: Как же объяснить эти опыты?

Читатель: Я думаю, все дело в самоиндукции. Ведь ток в цепи быстро меняется, в катушке возникает вихревое электрическое поле, которое мешает нарастанию тока в цепи. Поэтому действующее значение силы тока становится тем меньше, чем больше индуктивность катушки.

Автор: Вы правы. А как будет влиять на действующее значение силы тока частота тока?

Читатель: Чем больше частота, тем больше ЭДС самоиндукции, поэтому с увеличением частоты сила тока будет убывать.

Автор: Верно. А теперь попробуем получить зависимость тока от времени в цепи, состоящей только из источника переменного напряжения и катушки индуктивности.

Рис. 16.14

Пусть на катушку индуктивности (рис. 16.14) подается переменное напряжение, которое меняется по закону u = U₀coswt. Будем считать, что активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.

Выясним, как связаны между собой напряжение на концах u(t) и ЭДС самоиндукции ℰ_is(t) в данный момент времени t.

Заметим, что внутри катушки как бы «сталкиваются лбами» два электрических поля: поле кулоновских сил, созданное источником, и вихревое электрическое поле, которое возникает из-за изменения магнитного поля, созданного током катушки.

Поставим вопрос: может ли результирующая напряженность электрического поля в катушке быть отличной от нуля? (Сопротивление катушки мы считаем равным нулю.)

Читатель: Если предположить такое, то при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2 (см. рис. 16.14) его скорость должна либо увеличиться (если ), либо уменьшиться (если ). Но это бы означало, что сила тока различна в разных точках цепи!

Автор: Верно! Значит, . А это значит, что работа, которую совершают над единичным положительным зарядом при переносе его из точки 1 в точку 2 кулоновские силы, в точности равна по величине и противоположна по знаку работе, которую совершают над зарядом силы вихревого поля. Следовательно, ℰ_is(t) = – u(t).

Теперь попробуем найти зависимость тока от времени i(t). Поскольку u(t) = U₀coswt, то ℰ_is(t) = –U₀coswt.

Из закона Фарадея известно, что ℰ_is = –Li¢(t), поэтому

–Li¢(t) = –U₀coswt Þ .

Чтобы найти i(t), найдем первообразную функции :

.

Константа интегрирования С находится из начального значения силы тока. Если i(0) = 0, то , значит, С = 0, . Итак, запомним:

. (16.10)

Тогда амплитудное значение тока

. (16.11)

С учетом того, что , , можем записать

I_д = . (16.11а)

Величину Lw называют индуктивным сопротивлением

X_L = wL. (16.12)

Тогда для действующих значений тока и напряжения выполняется закон Ома

. (16.13)

Аналогичное равенство справедливо и для амплитудных значений тока и напряжения

. (16.13а)

Заметим, что если w = 0 (т.е. ток постоянный), то X_L = 0: постоянному току катушка индуктивности не оказывает сопротивления. Если L = 0, то X_L = 0, т.е. если индуктивность катушки очень мала, то ЭДС самоиндукции также очень мала, и катушка никак не может мешать переменному току.

Рис. 16.15

Изобразим графически зависимости i(t) и u(t) (рис. 16.15). Видим, что в данном случае ток опережает напряжение на p/2. В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю. В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю.

Замечание. Для мгновенных значений тока и напряжения закон Ома не применим. В самом деле, в момент t = 0 i_L(0) = 0, а u_L(0) = = U₀. Это противоречит закону Ома.

СТОП! Решите самостоятельно: А9, А10, В18–В21, С6.

Задача 16.6. Найти индуктивность катушки, если амплитуда напряжения на ее концах U₀ = 160 В, амплитуда тока в ней I₀ = 10 А и частота тока n = 50 Гц.

U0 = 160 В I0 = 10 А n = 50 Гц	Решение. Þ I0×2pnL = U0 Þ 0,051 Гн.
L = ?

Ответ: 0,051 Гн.

СТОП! Решите самостоятельно: А11, А12, В22.