Частотный критерий устойчивости Найквиста
Для исследования устойчивости усилителей с обратной связью Найквист в 1932 г. предложил критерий устойчивости, основанный на анализе частотных характеристик системы. Для исследования устойчивости замкнутой системы управления, согласно этому критерию, необходимо знать амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы, которую можно получить аналитически, так и экспериментально. Последнее обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от ранее изложенных.
Пусть дана система
Рисунок 5.6 – Замкнутая САУ
В разомкнутом состоянии передаточная функция системы равна
. (5.24)
Так как , то порядок полинома и полинома одинаков.
Передаточная функция замкнутой системы равна
(5.25)
Рассмотрим отдельно знаменатель
(5.26)
где - характеристическое уравнение разомкнутой системы;
- характеристическое уравнение замкнутой системы.
Т.е. характеристические уравнения разомкнутой и замкнутой систем связаны общим уравнением.
Для получения АФЧХ системы положим
,
где - АФЧХ замкнутой САУ,
- АФЧХ разомкнутой САУ.
Рассмотрим три случая состояния разомкнутой системы: устойчива, неустойчива и находится на грани устойчивости.
1 случай- рассмотрим случай, когда разомкнутая система устойчива.
Если САУ в разомкнутом состоянии устойчива, то по критерию Михайлова
Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно удовлетворяться равенство
При этом из (5.26) следует, что
(5.27)
Таким образом, система автоматического управления устойчива, если (и только если) изменение аргумента F(jω) при изменении ω от 0 до ∞ равно 0, то есть устойчивое состояние означает, что годограф вектора не огибает начало координат комплексной плоскости.
Рисунок 5.7 – Годографы устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем
На рисунке 5.7 показаны два годографа : а) соответствует устойчивой системе, так как он не охватывает точку (0, j ); б) - неустойчивой, так как он охватывает точку (0, j ).
Удобно рассматривать ту же кривую, но для вектора - поскольку годограф есть АФЧХ разомкнутой системы, для этого, очевидно, нужно перенести мнимую ось вправо на 1. Поскольку F(jω) отличается от
на +1 , то условие можно получить непосредственно для характеристики
(рисунок 5.7).
Рисунок 5.7
Приведём формулировку критерия Найквиста для этого случая.
Если система управления устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы при изменении годограф амплитудно-фазовая частотной характеристики (АФЧХ) системы в разомкнутом состоянии не охватывал точку с координатами .
2 случай - система в разомкнутом состоянии неустойчива, то есть характеристическое уравнение имеет q корней, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости корней.
Рассуждая аналогично устойчивой системе, по принципу приращения аргумента характеристического вектора в данном случае для не устойчивой системы равно
. (5.28)
Для устойчивой замкнутой системы по-прежнему выполняется равенство
.
Таким образом, в соответствии с (5.27) приращение аргумента равно
(5.29)
То есть при неустойчивой системе в разомкнутом состоянии, имеющей q корней в правой полуплоскости, система в замкнутом состоянии будет устойчивой, если годограф вектора при изменении частоты от 0 до огибает в положительном направлении начало координат раз (рисунок 5.8).
Рисунок 5.8 – Годографы устойчивой (а) и неустойчивой (б) САУ
Аналогично предыдущему: если перенести ось ординат в точку , то вместо годографа можно рассматривать лишь , то есть годограф АФЧХ в разомкнутом состоянии (рисунок 5.9).
Рисунок 5.9
Тогда окончательная формулировка критерия Найквиста в этом случае имеет вид.
Если реальная система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет q корней в правой полуплоскости, то в замкнутом состоянии система автоматического управления устойчива, если годограф АФЧХ системы в разомкнутом состоянии раз охватывает в положительном направлении точку с координатами .
3 случай – система в разомкнутом состоянии находится на грани устойчивости. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
(5.30)
где -число нулевых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии;
Вm(p), A1n(p) – полиномы от р, причём А1n(p) не имеет нулей в правой полплоскости и на мнимой оси.
В случае, когда САУ в разомкнутом состоянии имеет нулевых корней
( интегрирующих звеньев) анализ устойчивости замкнутой САУ можно вести аналогично случаю устойчивой САУ в разомкнутом состоянии. Для этого условно положим нулевые корни лежащими в левой (устойчивой) полуплоскости корней и численно равными . Тогда по критерию Найквиста, для устойчивых САУ в разомкнутом состоянии замкнутая САУ устойчива, если годограф ЛФЧХ САУ в разомкнутом состоянии не огибает точку с координатами (рисунок 5.10,а).
Устремим теперь , тогда реальная АФЧХ САУ в разомкнутом состоянии будет дополняться частью окружности бесконечно большого радиуса, начинающейся с положительной действительной полуоси (рисунок 5.10,б).
Рисунок 5.10
Таким образом, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:
Если САУ в разомкнутом состоянии имеет нулевых корней, то замкнутая САУ устойчива, если годограф АФЧХ в разомкнутом состоянии дополняется окружностью бесконечно большого радиуса, начинающейся с положительной полуоси и проходящей через квадрантов, не огибает точку с координатами .
Пример 5.6. Определить устойчивость следующей САУ
Рисунок 5.10 – Система (а) и её годограф АФЧХ (б)
Реально такой структурной схеме (рисунок 5.10, а) может соответствовать система Г-Д (генератор-двигатель) с отрицательной обратной связью по току.
Передаточная функция разомкнутой САУ равна
.
Получим АФЧХ, заменим
Не приводя построения годографа АФЧХ отметим, что при изменении от 0 до изменяется от до через (рисунок 5.10,б). При любых значениях постоянной времени kОС АФЧХ разомкнутой системы не проходит через точку , то есть такая система всегда устойчива. Иначе говоря, система с общим порядком интегрируемости равным 1 всегда устойчива (система нулевого порядка тем более устойчива).
Пример 5.7. Определить устойчивость САУ вида (рисунок 5.11, а)
Рисунок 5.11 – Система (а) и её годограф АФЧХ (б)
Так как система имеет интегральное звено, то она относится к разряду астатических САУ.
Передаточная функция разомкнутой системы
Её АФЧХ получается
Годограф АФЧХ проходит от через до при изменении , то есть по 3 и 2 квадранту комплексной плоскости. Система может быть устойчивой и неустойчивой.
Для конкретности положим Т1 = 0,03 сек; Т2 = 0,02 сек; Т3 = 0,01 сек. В этом случае
Составим таблицу
3,24 | 1,52 | 0,52 | 0,42 | 0,105 | |||
-90° | -107° | -123° | -138° | -162° | -198° | -270° |
Вывод: годограф АФЧХ не охватывает точку , поэтому САУ в замкнутом состоянии система устойчива.
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1159;