Частотный критерий устойчивости Михайлова
Заменим в полиноме А(р) на , тогда:
, (5.22)
где U(ω) – вещественная часть полинома ,
V(ω)– мнимая часть полинома .
На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении от до вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристикой кривой. Поскольку функция является чётной функцией , а - нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении от 0 до . Тогда из уравнения (5.21) следует, что для устойчивой системы приращение аргумента вектора при изменении от до должно быть
(5.23)
Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так
САУ устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 до последовательно обходит число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, нигде не обращается в нуль.
На рисунке 5.2 показаны годографы Михайлова для устойчивых систем при различных значениях n. Все они начинаются при ω=0 со значением а0 на положительной полуоси. Это означает, характеристические уравнения приведены к виду, при котором их коэффициенты положительны. Годографы, изображённые на рисунке 5.2 уходят в бесконечность при ω→∞ и обходят соответствующее число квадрантов.
Пример 5.3.
Определить устойчивость системы, характеристическое уравнение которой
Заменим р на jω, получим
.
Составим таблицу
(ω) | -1 | ||||
(ω) | 0,353 |
Рисунок 5.3
Построим годограф рисунок 5.3.
Система устойчива, поскольку годограф Михайлова огибает три квадранта (по числу равному порядку характеристического уравнения)
Пример 5.4.
Характеристическое уравнение системы .
.
Проделав аналогичные расчеты, построим график рисунок 5.4.Система стала не устойчивая, поскольку годограф Михайлова огибает всего два квадранта (что не равно порядку характеристического уравнения).
Пример 5.5.
Характеристическое уравнение системы .
. Построим график рисунок 5.5. Система находится на грани устойчивости, поскольку годограф Михайлова огибает два квадранта вместо трёх и проходит через начало координат.
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 732;