Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Пусть дано характеристическое уравнение
(5.11)
Теорема Гурвица гласит: все корни уравнения (5.11) будут иметь отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда все диагональные определители главного определителя положительны.
Главный определитель определяется следующим образом:
1. По главной диагонали в порядке возрастания индексов выписываются все коэффициенты от а1 до аn.
2. Каждая из строк дополняется влево коэффициентами с убывающими индексами, вправо – с возрастающими.
3. На месте отсутствующих коэффициентов ставятся нули.
. (5.12)
Таким образом, условием устойчивости (отрицательности действительных частей корней) по критерию Гурвица являются:
1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны – необходимое условие.
2. Все диагональные определители должны быть положительны – достаточное условие, то есть:
… , 
(5.13)
Рассмотрим примеры.
Пример 5.1. Установить, устойчива ли система, если характеристическое уравнение её имеет вид:
а) 
- так как коэффициент а3 = 0, то есть, не выполнено необходимое условие, то система неустойчива.
б) 
- 
- система не устойчива.
Пример 5.2. Определить, при каких k система будет устойчива:
а) 
б)Вычисляем диагональные определители
;
итак, система устойчива при 
.
Область значения параметра, при котором САР устойчива, называют областью устойчивости САР по этому параметру.
Можно показать, что если выполнены все условия критерия Гурвица, кроме одного ( 
то характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных чисто мнимых корней. Если же выполнены все условия Гурвица, кроме а0=0, то уравнение имеет один нулевой корень [это следует из непосредственного рассмотрения характеристического уравнения (5.11)]. И в одном, и в другом случаях система находится на границе устойчивости: в первом случае она называется границей колебательной устойчивости, а в другом – апериодической устойчивости.
Существенные недостатки критерия Гурвица:
1. Критерий лишен наглядности, носит формальный характер и ничего не говорит о качестве устойчивости, то есть насколько далека система от границы устойчивости.
2. Коэффициенты или параметры, характеризующие физические свойства звеньев системы, входят зачастую в столь сложных комбинациях, что практически трудно установить, какие именно параметры и каких звеньев следует изменить, чтобы обеспечить устойчивость САР.
3. Необходимо иметь аналитические уравнения звеньев и всей системы, что не всегда удобно.
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1375;