Момент инерции относительно неподвижной оси, момент импульса материальной точки и механической системы относительно неподвижной точки и оси

Моментом инерцииi - ой материальной точки m_i массой называется J_OO'_iфизическая величина, равная произведению m_i массы i - ойматериальной точки на r_i² квадрат расстояния от этой i - ой материальной точки до неподвижной OO'оси. Моментом инерциимеханической системы относительно неподвижной OO'оси называется J_OO'физическая величина, равнаясумме произведениймасс всех n материальных точексистемы на r_i² квадраты их расстояний до этой неподвижной OO'оси, вследствие чего для этого J_OO'момента инерциимеханической системы место следующее выражение: n

J_OO' = ∑m_ir_i²,(1.63)i = 1

где m_i и r_i - соответственно масса i - ой материальной точкии её расстояние от OO'оси, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой i - ой материальной точкина OO'ось.

Момент инерции J_OO' тела относительно неподвижной OO'оси имеет следующий вид: J_OO' = ∫r²dm = ∫r²ρdV, (1.64)

m V

где dm = ρdV - масса малого элемента dV объема тела, ρ - его плотность, а r- расстояние от элемента dV объема тела до OO'оси. Если тело однородно, т.е. его ρ плотность всюду одинакова, тоJ_OO' момент инерциитела относительно неподвижной OO'оси имеет следующий вид: J_OO'= ρ ∫r²dV, (1.65) V

Момент инерцииJ_OO' является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг неподвижной OO'оси.

Момент инерцииданного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме ШтейнераJ момент инерции тела относительно произвольной оси равен суммеJ_Cмомента инерции этого тела относительно оси, проходящей (рис. 01.0.13) через Cцентр масстела параллельно рассматриваемой оси, и произведения m массы тела на квадрат d² расстояния между этой произвольнойосьюи осью, проходящей через Cцентр масстела, параллельно рассматриваемой оси, поэтому J момент инерции тела относительно произвольной осиимеет следующий вид: J = J_C + md². (1.66)

Вектор L_Oi момента импульсаi-ой материальной точки относительно Oполюса

равен векторному произведению r_i радиуса-вектора, проведенного из Oполюса в место нахождения материальной точки, на (1.40) вектор p_i её импульса. Методика определения вектора L_Oi момента импульсаi-ой материальной точки аналогична методике определения (рис.1.16) вектора

M₀ моментасилыот вектора F силы, где вместо вектора F силы в (1.56) векторном произведении указываетсявектор p_i импульса этой i-ой материальной точки, вследствие чего для этого вектора L_Oi момента импульсаi-ой материальной точки место следующее выражение:

L_Oi = [ r_i,p_i] =[r_i,m_iv_i], (1.67)

где v_i - вектор скорости i-ой материальной точки m_i массой. По аналогии с (1.51) векторы r_i, p_i и L_Oi в (1.67) составляют правую тройку векторов.

Результирующимвектором L_O момента импульса системыотносительно Oполюсаназывается геометрическая сумма векторов L_Oi моментов импульсаотносительно того же Oполюсавсех n материальных точек системы, вследствие чего этот результирующийвектор L_O момента импульса системы имеет следующий вид: n n

L_O = ∑[r_i,p_i] = ∑[r_i,m_iv_i], (1.68) i = 1i = 1

где m_i,r_i и v_i - соответственно масса, радиус - вектор и вектор скоростиi-ой материальной точки, а n - общее число точек в системе.

По аналогии с (1.61), (1.62) для определения L_OO' проекции результирующеговектораL_O моментаимпульса системы на неподвижную (рис.1.18) OO' ось сначала определяют этотрезультирующийвектораL_Oмомента импульсасистемы относительно любой точки, лежащей на неподвижной OO' оси, а затем проектируют результирующийвекторL_O момента импульсасистемы на эту неподвижную OO' ось.