Уравнение моментов импульса механической системы

С учетом (1.12), (1.42) первая производнаяпо t времени от результирующего(1.68)вектора L_O момента импульса механической системы относительно любого Oполюсаравна векторуM_Oвнглавного моментасил(1.58) от всех векторов F_i внешних сил, приложенных к этой механической системе, относительно того же Oполюса, вследствие чего имеет место следующее выражение: n n n n

dL_O/dt = d∑[r_i,m_iv_i]/dt = ∑[r_i,m_i dv_i]/dt = ∑[r_i,m_i a_i] = ∑[r_i,F_i] =M_Oвн, (1.69) i = 1 i = 1 i = 1 i = 1

где m_i,r_i , v_i и a_i - соответственно масса, радиус - вектор, векторы скоростии ускоренияi-ой материальной точки, а n - общее число точек в системе.

Уравнение(1.69) является уравнением моментов для тела, вращающегося вокруг полюса, т.е. неподвижной точки, в инерциальной системы отсчёта.

В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системыс O началомкоординат уравнение моментов твердого тела, вращающегосявокругэтого O начала координат, которое совпадает с Oполюсом,имеет следующий вид:

dL_x/dt = M_xвн; dL_y/dt = M_yвн; dL_z/dt = M_zвн, (1.70)

где L_x, L_y, L_z и M_{x вн}, M_{у вн}, M_zвн - соответственно (1.68) проекции результирующеговектора L_O момента импульса механической системы и (1.58) проекции вектора M_Oвнглавного моментаот всех векторов F_i внешних сил на оси неподвижной прямоугольной декартовой системыс O началомкоординат.

Тело вращается (рис. 1.19) вокруг неподвижной OZ оси. Направление егорезультирующего(1.68)вектора L_OZ момента импульса совпадает с направлением этой неподвижной OZоси. С учетом равенства векторов ω угловойскорости каждой элементарной m_i массы этого тела с r_i радиусом - вектором,перпендикулярнымнеподвижной OZоси, и равенства согласно (1.25) вектора v_i линейной скоростикаждой части тела v_i =[ω,r _i], а также с учетом (1.68)результирующийвектор L_OZ момента импульса относительно неподвижной OZ оси имеет следующий вид:

n n

L_OZ= ∑[r_i,m_iv_i] = ∑[r_i,m_i[ω,r_i]]. (1.71) i = 1 i = 1 Двойное векторное произведениев (1.71) с учетомскалярного произведения (r_iω) = 0, т.к. (рис.1.19) r_i радиус – векторперпендикуляренвектору ω угловойскорости, имеет следующий вид:

Подставляем в (1.73) выражение (1.63)момента инерции J _OZ тела относительно неподвижной OZоси и получаем следующее выражение результирующеговектора L_OZ момента импульса с вектором ω угловойскорости вращения этого твёрдого тела вокруг неподвижной OZоси:

L_OZ = J _OZω.(1.74)Берём первую производную по t времени от левой и правой частей (1.74), подставляем в полученное выражение (1.21) вектор β углового ускоренияпри вращении твёрдого тела и получаем следующее выражение первой производной по t времени отрезультирующеговектора L_OZ момента импульса относительно неподвижной OZоси: dL_OZ/dt = J_OZ(dω/dt) = J_OZβ. (1.75)

Вращение механической системы относительно неподвижной OZоси является частным случаем вращенияэтоймеханической системывокругOполюса, лежащего на неподвижной OZоси. С учётом этого левые части выражений (1.69) и (1.75) равны друг другу. Поэтому можно приравнять правые части выражений (1.69) и (1.75), но заменить в правой части выражения (1.69) векторM_Oвнглавного момента(1.58) от всех векторов F_i внешних сил, приложенных к механической системе, относительно Oполюсавектором M_OYвн главного моментаот всех векторов F_i внешних сил, приложенных к механической системе, относительно неподвижной OZоси, вследствие чего имеет место следующее выражение: dL_OZ/dt = J_OZβ = M_OZвн, (1.76) которое определяетизменение момента импульса механической системы в произвольный момент

t времении является уравнением динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, согласно которому вектор M_вн главного момента внешних сил, направленного по этой оси,пропорционален вектору β углового ускорениявращения твердого тела относительно неподвижной оси.