Связь между потенциальной энергией и силой механической системы

С учётом (1.82) δA_k = F_кrdS элементарной работы, выполненной (1.6) на элементарнойdS = dr длине пути материальнойточки проекцией F_кr на направление вектора dr элементарного перемещения этой материальнойточки вектора F_к консервативной силы, выражение (1.95) принимает следующий вид: F_кrdS = - dW_p ↔ F_кr = - ∂W_p/∂S,(1.96) т.е. проекция F_кr на направление вектора drэлементарного перемещения вектора F_к консервативной силыв произвольной точкепотенциальногополя с координатамиx, y, z равна с противоположнымзнаком производной∂W_p/∂Sпотенциальнойэнергиипо S длине пути материальной точки, т.е. равна с противоположнымзнаком отношению элементарногоприращения∂W_p потенциальнойэнергии материальной точки к элементарномуприращению ∂S её пути. Символ "∂"частной производнойв (1.91) подчёркивает, что производнаяберётся по направлению вектора drэлементарного перемещения, имеющего модуль dr, равный элементарнойdS длине пути материальнойточки, т.е. (1.6)dS = dr. Если направлениевектора drэлементарного перемещения материальной точкипод действием вектора F_к консервативной силы совпадает с направлением OX оси, т.е. dr= idx, где (рис.1.1) i - ортOX оси, то (1.96) принимает следующий вид: F_кxdx = - dW_p ↔ F_кx = - ∂W_p/∂x, (1.97) где F_кx - проекция вектора F_к консервативной силы в произвольной точкепотенциальногополя с координатамиx, y, z на направление OX оси вектора.

При совпадении направлениявектора drэлементарного перемещения материальной точкипод действием вектора F_к консервативной силыс направлением OY или OZ осей по аналогии с (1.97) имеют место следующие выражения:

F_кydy = - dW_p или F_кz dz= - dW_p ↔ F_кy = - ∂W_p/∂y или F_кz = - ∂W_p/∂z. (1.98) Если вектор F_к консервативной силыв произвольной точкепотенциальногополя с координатамиx, y, z не совпадает по направлениюни с одной из осей (рис.1.1) декартовых координат, т.е. имеет произвольное направление, то этот вектор F_к консервативной силы, разложенный (рис.1.1) по базису i, j, k, имеет следующий вид: F_к = F_кxi + F_кyj + F_кzk.(1.99)

Подставляем (1.97), (1.98) в (1.99) и получаем выражение вектора F_к консервативной силыв произвольной точкепотенциальногополя с координатамиx, y, z, равного со знаком минусвектору градиентаскалярной функции потенциальнойW_pэнергии в этой же точкепотенциальногополя: F_к = -[(∂W_p/∂x)i + (∂W_p/∂y)j + (∂W_p/∂z)k] = - gradW_p= - W_p, (1.100) где = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + ( ∂/∂z)k - оператор Гамильтона, т.е. векторный дифференциальный оператор "набла".