КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА ДЛЯ ПРОВЕРКИ ПРОСТОЙ ГИПОТЕЗЫ

Имеется случайная величина X , имеется выборка объема n: x₁, x₂,...,x_n. Выдвинута простая гипотеза о функции распределения F(x). По результатам статистический испытаний необходимо проверить простую гипотезу.

По выборке строится вариационный ряд x₍₁₎, x₍₂₎,..., x_(n). Предполагается, что случайная величина X является непрерывной и, следовательно, члены выборки не совпадают.

Зададим эмпирическую функцию распределения случайной величины X, которая равна

Эмпирическая функция распределения - это оценка теоретической функции распределения.

k - количество результатов испытания, которые левее x, n - общее количество результатов испытания.

Если проверяемая гипотеза верна, то на основании теоремы Гливенко при числе испытаний стремящихся к бесконечности по вероятности эмпирическая функция распределения равномерно сходится к теоретической.

Рассмотрим случайную величину w².

Очевидно, что при n®¥ в случае истинности гипотезы w²®¥.

Доказано, что при n®¥ случайная величина nw² имеет нормальное распределение. При этом при n³40 nw² практически не отличается от предельного распределения (полученного эмпирическим путем). Очевидно, что в качестве критической области выбирается область больших положительных значений критерия.

Как мы уже раньше представляли выражение для w².

т.к. мы разбили область интегрирования на интервалы из-за скачка.

Наконец, объединяя члены, зависящие от F(x_(k)) (с заданным k=1, 2, ...n), находящиеся в двух суммах получаем

КРИТЕРИЙ «ИДЕАЛЬНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ» (ЗИГЕРТА-КОТЕЛЬНИКОВА)

,