ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
1. Строим критерий с известным распределением.
2. По заданному уровню значимости строим границы критической области .
3. Строим по выборке опытное значение критерия .
4. Сравниваем значения и , если , то делаем вывод о том, что опытные данные противоречат выдвинутой гипотезе и отвергаем ее.
ПРИМЕРЫ
Рассмотрим сначала задачи проверки гипотез об интересующем нас параметре θ вида:
1) H0: θ=θ0; H1: θ θ0,
2) H0: θ=θ0; H1: θ<θ0,
3) H0: θ=θ0; H1: θ>θ0.
где θ0 - заданное конкретное число.
Такие гипотезы можно проверить посредствен построения доверительного интервала для θ.
Для проверки гипотезы вида 1) мы строим с доверительной вероятностью β=1-α доверительный двусторонний интервал Iβ (θ) для θ и проверяем, накрыл ли он число θ0.
Если θ0 Є Iβ(θ), то гипотеза Ho выдержала проверку, т.е. приемлема с уровнен значимости α. Если θ0 Iβ(θ), т.е. интервал не накрыл θ0, то гипотезу Н0 отбрасываем, принимая Н1.
При проверке гипотез вида 2) и 3) строится односторонний доверительный интервал, а именно, в случае 2) односторонний интервал Iβ(θ) с нижней границей хH; а в случае 3) с верхней границей хB . Если этот интервал покрывает θ0, гипотеза Н0 принимается, если не накрывает - отвергается.
Пример 29.
Допустим, при уровне значимости α=0,05, проверяется гипотеза Но: μ=109 против альтернативной, Н1: μ 109 для генерального среднего μ сл.величины X~N(μ, σ2 }. X - длина детали, μ=MХ. По техническим требованиям среднее μ должно равняться номинальному размеру μо=109, что и проверяется на основе выборки из n=31 детали. Их размеры мы здесь не приводим, а сразу даем подсчитанное выборочное среднее =100 и выборочную дисперсию s2=202. Находим доверительную вероятность β=1-α=1-0,05=0,95 и ν=n-1=30.
Далее .
=>гипотеза Н0 отклоняется. Вывод: генеральное среднее не равно по минимальному значению.
Пример 30.
При уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу Н0: μ=106, H1: μ>106 по выборке предыдущего примера. Чтобы построить 95%-ый односторонний доверительный интервал для среднего, сначала строим 90%-ный двусторонний. . Но коэффициента t0.90.ν; нет в таблице 10. Зато в таблице 7 есть для сл.величины t30 квантиль уровня 0,95, равный 1,70. Значит, левее точки 1,70 лежит 0,95% площади распределения. А так как кривая t.-распределения симметричная, то 5% площади лежит не только правее точки 1,70, но и левее точки -1,70, а между -1,70 и +1,70 лежит 90% площади. Но t0.90.ν как раз обозначает такое число, что в интервале (-t0.90.ν; +t0.90.ν) заключено 90% площади, а остальная площадь поровну лежит слева и справа. Поэтому t0.90.30=1.70.
В результате
Двухсторонний доверительный 90%-й интервал найден: I0.90(μ)=100±6,2=(93,8; 106,2).
Опустив нижнюю границу интервала до - , мы увеличиваем доверительную вероятность β на величину и приходим к β=0.95.
Итак, получен 95% -й односторонний доверительный интервал для математического ожидания μ с верхней границей 106,2: I0.95(μ)=(- ; 106,2).
Число μо=106 принадлежит этому интервалу, поэтому приемлема гипотеза Н0 о том, что математическое ожидание μ (оно жe истинное среднее μ, генеральное среднее) равно 106.
Подчеркнем, что вывод о приемлемости основной гипотезы Н0, ее не противоречивости имеющимся данным не означают того, что доказана ее истинность. Так категорично утверждать нельзя. В последнем примере не противоречили бы тем же опытным данным гипотезы Н0: μ=100, или Н0: μ=105 и вообще бесконечное число промежуточных гипотез, из которых больше одной верной быть не может.
Не исключено, что основная гипотеза Н0 могла не противоречить данным только из-за их недостатка, а будь числo наблюдений больше в два-три раза, это противоречие наблюдениям выявилось бы.
Дата добавления: 2016-02-27; просмотров: 542;