Изгибные колебания трубопровода с движущейся жидкостью.

Выведем дифференциальное уравнение малых изгибных колебаний призматической балки (трубы) конечной длины , изгибной жесткостью с внутренним стационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости, движущейся с постоянной скоростью относительно стенок трубы. При исследовании изгибных колебаний трубы с протекающей внутри жидкостью воспользуемся моделью в виде непризматической балки и гипотезой плоских сечений. В этом случае для анализа колебаний справедлива формула из параграфа 5.8

, (5.61)

где - уравнение упругой оси балки относительно ее недеформированного состояния при действии поперечной заданной нагрузки .

Пусть вдоль оси трубы будут неизменны ее изгибная жесткость , масса единицы длины трубы и масса объема жидкости , заполняющего единицу длины трубы. В соответствии с принципом Даламбера возникающие при колебаниях силы инерции (рис. 5.16) можно считать для балки поперечной нагрузкой, тогда

,

где - абсолютная скорость элемента трубы, а - абсолютная скорость элемента протекающей жидкости.

Рис.5.16

Для стационарного потока давление вдоль оси трубы не изменяется, а скорость движения жидкости не зависит от колебаний трубы. Тогда инерционная нагрузка может быть записана в виде

. (5.62)

Здесь первое слагаемое – сила инерции элемента трубы, возникающая при его поперечных колебаниях; поскольку элемент жидкости совершает сложное движении (переносное движение со скоростью элемента трубы, относительное - со скоростью ), остальные слагаемые в (5.62) отражают его силы инерции – силу инерции переносного движения, нормальную составляющую силы инерции относительного движения и силу инерции Кориолиса, соответственно. При вычислении составляющих ускорения элемента жидкости учтено, что кривизна балки , угол поворота элемента , а его угловая скорость .

Подставив (5.62) в (5.61), получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний оси трубопровода относительно начального прямолинейного положения:

. (5.63)

Решение уравнения (5.63) можно получить одним из приближенных аналитических методов (см. параграф 5.10). Воспользуемся методом Бубнова – Галеркина, представив решение уравнения в виде произведения двух функций

. (5.64)

Решение (5.64) должно удовлетворять четырем граничным условиям, соответствующим вариантам закрепления концов трубопровода (см. параграф 5.8).

Подстановка (5.64) в (5.63) позволит для функции получить обыкновенное дифференциальное уравнение:

, (5.65)

где , , , .

Решение уравнения (5.65) будем искать в виде , подстановка которого в уравнения (5.64) с последующим умножением на и интегрированием при граничных условиях от до , приводит к системе линейных однородных уравнений относительно неизвестных постоянных Приравняв определитель системы к нулю, получим уравнение для определения частот колебаний трубопровода .

При исследовании возникающих колебаний представляет интерес ответ на вопрос о значении критической скорости потока жидкости (скорость протекания жидкости, при которой трубопровод может потерять статическую устойчивость). Это значение можно найти из условия равенства нулю первой частоты колебаний (что, в свою очередь, имеет место при равенстве нулю слагаемого, не содержащего частоту в уравнении для определения частот).

Пример 9 [11].По участку трубопровода с шарнирными опорами на концах (см. рис. 5.17), течет с постоянной скоростью идеальная несжимаемая жидкость. Средний диаметр сечения трубопровода , толщина стенки трубопровода , длина участка , плотность материала , модуль упругости . Масса жидкости . Определить первые две частоты поперечных колебаний трубопровода с покоящейся и протекающей жидкостью без учета действия статических сил веса.

Рис.5.17

Решение:

Воспользуемся дифференциальным уравнением (5.63) , где - масса единицы длины трубы, а - масса единицы длины жидкости. Для получения решения воспользуемся методом Бубнова – Галеркина. Полагая что , после подстановки предполагаемого решения в (5.63) и выполнения достаточно несложных преобразований, для уравнения (5.65) получим значения коэффициентов , , . Решение уравнения (5.65) должно удовлетворять граничным условиям:

При : , при : .

Ищем решение уравнения (5.65) в виде . Подставим это решение в (5.65) и последовательно умножим полученное выражение на и . Полученные соотношения проинтегрируем в интервале от до с учетом граничных условий. В результате выполненных действий приходим к алгебраической системе из двух линейных однородных уравнений относительно неизвестных :

;

.

Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим уравнение вида для определения двух частот поперечных колебаний трубопровода.

При , а ;

При , а .

Критическая скорость протекания жидкости возникает при равенстве нулю одной из частот колебаний, что имеет место при , где . Отсюда значение минимальной критической скорости будет .