Изгибные колебания балок.

Используя статическую теорию изгиба балок, запишем дифференциальное уравнение изгиба упругой балки (рис.5.10), находящейся под действием поперечной погонной нагрузки

,

где - жесткость на изгиб; - уравнение упругой оси.

Рис.5.10.

Уравнение свободных колебаний балки можно получить, если считать, что ее прогиб зависит от времени, интенсивность поперечной нагрузки равна силе инерции . Согласно принципу Даламбера

. (5.35)

Рассмотрим частный случай, когда балка является призматической: и , тогда уравнение (5.35) принимает вид

(5.36)

где - постоянный коэффициент. Воспользуемся методом Фурье и представим решение этого уравнения в виде

. (5.37)

Подставим это решение в уравнение (5.33)

или

.

Последнее уравнение в частных производных распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения

, (5.38)

. (5.39)

Для решения задачи о свободных колебаниях балки необходимо решить оба этих уравнения. Рассмотрим вначале процедуру решения уравнения (5.36), в результате найдем формы собственных колебаний балки. Используя обозначение , представим решение уравнения (5.38) в форме

. (5.40)

Для определения постоянных используются граничные условия следующих видов:

· Свободный конец балки: , , при .

· Шарнирно закрепленный конец , , при .

· Защемленный конец балки: , , при .

· Упруго опертый конец балки: , , при .

· Точечный груз на конце балки: , , при .

При решении практических задач чаще используют решение уравнения (5.38) в другой форме

, (5.41)

где ; ; ; - функции Крылова. Решение (5.39) уравнения (5.38) должно удовлетворять четырем граничным условиям из перечисленных выше вариантов. Например, решение уравнения (5.38) для шарнирно опертой балки состоит в выполнении следующей процедуры. Решение (5.41) непосредственно подставляется в граничные условия

; ; , ,

в результате приходим к системе четырех алгебраических уравнений

Из первых двух уравнений находим

Последние два уравнения упрощаются

(5.42)

Это однородная система уравнений, которая имеет нетривиальное решение только если

или

. (5.43)

Так как , то это уравнение упрощается

. (5.44)

Его решение записывается в форме или , откуда находим собственные частоты колебаний балки . Каждой собственной частоте будет соответствовать одно решение системы уравнений (5.42)

.

Подставляя найденные значения постоянных интегрирования , и в решение (5.41), находим формы собственных колебаний шарнирно опертой балки, каждая из которых удовлетворяет граничным условиям и является решением уравнения (5.38)

.

Формы собственных колебаний могут быть найдены только с точностью до постоянного множителя . С учетом уравнения (5.44), это выражение упрощается

,

где - постоянный коэффициент. Легко проверить, найденные формы колебаний удовлетворяют условию ортогональности

, при .

Перейдем к решению уравнения (5.39). Частное решение этого уравнения можно записать в виде

.

Учитывая форму записи решения (5.34) уравнения в частных производных (5.33), можно записать его частное решение в виде

.

Поскольку формы собственных колебаний образуют полную систему функций в пространстве, в котором происходит движение балки (пространство конфигураций), учитывая линейность уравнения (5.35) относительно , общее решение этого уравнения можно записать как линейную комбинацию частных решений

. (5.45)

Постоянные коэффициенты и определяются из начальных условий

; , (5.46)

которые характеризуют начальное возмущение, являющееся причиной возникновения свободных колебаний. Непосредственная подстановка решения (5.45) в выражения (5.46) приводит к системе уравнений

; . (5.47)

Если воспользоваться разложением функций и в ряд Фурье, то легко можно вычислить значения коэффициентов и следующим путем: умножая выражения (5.47) на функцию и интегрируя в пределах от до , находим

; .

Пример 5.Определить собственные частоты малых изгибных колебаний однородной балки длины , закрепленной как показано на рисунке 5.11. Масса единицы длины , изгибная жесткость .

Рис.5.11.

Решение:

Запишем уравнение изгибных колебаний (5.36):

,

где - постоянный коэффициент. Запишем решение в виде . После подстановки предполагаемого решения в дифференциальное уравнение, получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

,

где . Решение уравнения разыскиваем в виде (5.41):

,

где ; ; ; – функции Крылова. Подставляя решение в выражения для граничных условий

; ; ; ;

приходим к системе однородных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования . Приравнивая определитель этой системы к нулю, приходим к частотному уравнению

.

Его корни равны:

; ;…; .