Вращающийся Aвектор, равный сумме векторов A1 иA2 , изображающих соответственногармонические колебания1 - го грузикаотносительно 2- го грузикаи гармонические колебания 3 страница

При Ω →∞ получим в установившемся состоянии из (2.62) амплитуду A_в→0 и

tgφ₀→ 0, а φ₀ → π.

Механический резонанс колебательных процессов

Амплитуда(2.62) A_в смещения z(t) (рис. 02.0.14) тела m массой, совершающего на пружине вынужденные гармоническиеколебания относительно статического удлинения пружинного маятника, т.е. относительно O' начала координат, в зависимости от t времени, достигает максимумапри Ω_рциклической резонанснойчастоте гармонических колебаний вектора F_в =kF₀ cosΩ_рtвнешней периодической силы. Эта Ω_рциклическая резонанснаячастота гармонических колебаний связана с ω₀ циклической(2.2) частотой гармонических колебаний пружинного маятникаи его (2.47)

βкоэффициентом затухания следующим выражением: Ω_р = (ω₀ ²- 2β²)^1/2 = (ω ²- β²)^1/2, (2.63) где ω -циклическаячастота свободных затухающихколебаний маятника.

На амплитудной характеристике (рис. 02.0.15а) вынужденных гармоническихколебаний с увеличениемβкоэффициента, т.е. β₃ > β₂ > β₁,циклическаяΩ_р резонанснаячастота уменьшается, т.е. Ω_р3 < Ω_р2< Ω_р1, c одновременным уменьшением A_врезонансной амплитуды колебаний,т.е.

A_в3 < A_в2< A_в1. Если Ωциклическаячастота гармонических колебаний вектора F_в =kF₀ cosΩ_рtвнешней периодической силыравна нулю, т.е.Ω = 0, то амплитуда A_в смещения z(t) (рис. 02.0.14) тела

m массойравна F₀/mω₀², т.е. маятник не колеблется, а имеет статическое смешениеиз положения равновесияпод действием вектора F_в =kF₀ постояннойво t времени силы.

При (рис. 02.0.15а) равенстве β₁ коэффициента затухания нулю, т.е. при β₁ = 0,и равенстве

Ω_рциклическойчастотыгармонических колебаний вектора F_в =iF₀ cosΩ_рtвнешней периодической силы циклической ω₀ (2.2)частоте гармонических колебанийу пружинного маятника наступает резонанс, при котором (2.62) A_вамплитуда установившихся вынужденных колебаний(рис. 02.0.15а) стремится к бесконечности, т.е. A_в→ ∞.

При конечном значении β коэффициента затуханиярезонансная A_вр амплитуда колебаний или максимальная амплитуда, которая получается при подстановке (2.63) Ω_рциклическойрезонансной частоты гармонических колебаний вектора F_в = kF₀ cosΩ_рtвнешней периодической силы в (2.62) выражение, имеет следующий вид: A_вр = F₀/2mβω = πF₀/mδω², (2.64)

где использованы выражения (2.54) δ = βT - логарифмического декремента затуханияи(2.50)

T = 2π/ω -периодаT свободных затухающих колебаний.

На рис. 02.0.15б изображена фазо-частотнаяхарактеристикаустановившихся вынужденных гармоническихколебаний маятника.

При равенстве Ωциклической частоты гармонических колебаний вектора внешней периодической силы F_в =kF₀cosΩtциклическойω₀частотегармонических колебанийотставание

положения равновесияравно нулю.

При Ω < ω₀ смещение и периодическая силанаходятся в фазе, т.е. направления вектора силыивектора смещенияколеблющейся системы совпадают. При Ω > ω₀ смещение и периодическая силанаходятся в противофазе, т.е. направления вектора силыивектора смещенияколеблющейся системынаправленывпротивоположные стороны.

Виды механических волн. Основы акустики. Элементы физиологической акустики. Уравнение синусоидальной бегущей плоской и сферической волн, длина волны, фазовая скорость. Звуковые волны в газах. Волновое уравнение распространения акустических волн в однородной изотропной непоглощающей упругой среде: фазовая скорость распространения звука. Волновое уравнение, фазовая скорость распространения продольных упругих волн в стержнях. Волновое уравнение, фазовая скорость распространения поперечных волн в гибком шнуре. Давление звука, интенсивность звуковой волны. Объемная плотность энергии упругих волн. Вектор Умова - вектор плотности потока энергии упругих волн. Когерентные волны в упругой среде. Интерференция этих волн. Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: уравнение смещений частиц упругой среды относительно положений равновесия; расчёт координат узлов и пучностей; уравнения скорости смещений и относительной деформации частиц упругой среды относительно положений равновесия

Виды механических волн. Основы акустики. Элементы физиологической акустики.

Упругой волной называютпроцесс распространения возмущения в упругой среде. При этом происходит распространение именно возмущения частиц среды, но сами частицы испытывают движение около своих положений равновесия. Среда, в которой распространяется упругая волна, представляется сплошной и непрерывнойбез учёта её дискретногоили молекулярного строения. Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространенияволны. Продольные волнысвязаны с объемной деформацией упругой среды и потому могут распространяться в любой среде - твердой, жидкой и газообразной, например - звук в воздухе. Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волн. Поперечныеволны связаны с деформацией сдвига упругой средыи могут образовываться и распространяться только в средах, обладающих упругостью, т.е. в твердых телах. Поперечная волна- колебание струнмузыкальных инструментов.

Особое место занимают поверхностные волны, распространяющиесявдоль свободной поверхности жидкости или поверхности раздела двух несмешивающихсяжидкостей. В образовании и распространении этих волн определяющую роль играют силы поверхностного натяженияи тяжести. При изменении объёма газа, вызываемое внешними воздействиями, вследствие упругихсвойств этого газапроисходит изменение его давления. Упругимисвойствами обладают твёрдые, жидкиеи газообразныетела. Упругими деформациями тел называют такие, которые после исчезновения внешних воздействийполностью восстанавливают свою первоначальнуюформу. Для упругихдеформаций газовсправедлив закон Гука, согласно которому элементарноеdpприращение давлениягаза при малом изменении dV его объема прямо пропорционально относительнойdV/V объемной деформации, вследствие чего имеет место следующее выражение: dp = - kdV/V, (2.65)

где k - модуль объемной упругости газа. Знак "-" в (2.65) указывает на то, что при положительномdpприращениидавления газа dV приращениеобъема отрицательнои наоборот. При очень медленномизменении объемагаза процесс можно считать изотермическим, а при очень быстром- адиабатическим. В первом случае модуль объемной упругости газаимеет значение: k = p, т.е равен в произвольный момент времени давлению газа, а во втором случаемодуль объемной упругости газаимеет значение: k = γp, где γ - показатель адиабатыгаза.

Звуковымиили акустическими волнами называются упругиеволны малой интенсивности, т.е. слабые механическиевозмущения, распространяющиеся в упругой среде. Звуковые волны, воздействуя на органы слуха человека, способны вызвать звуковые ощущения, т.е. слышимые звуки, если ν частоты соответствующих им колебаний лежат в пределах 16 - 2·10 ⁴ Гц. Упругие волны с частотами ν < 16 Гц называются инфразвуком, а с частотами ν > 2·10 ⁴ Гц - ультразвуком. Часто упругие волныс частотами ν > 10 ⁹ Гц называют гиперзвуком. Распространение упругих волнв среде не связано с переносом вещества. В неограниченной среде оно состоит в вовлечении в вынужденные колебаниявсе более и более удаленных от источника волн частей среды. Некоторый перенос веществаможет осуществляться при распространении в среде сильных возмущений, например, ударных волн, возникающих при взрыве, когда колебания частиц среды становятся нелинейными.

Среда называется однородной, если её физические свойства при неизменныхусловиях и существенныхв рассматриваемых задачах, не изменяются от точки к точке. Среда называется изотропной, если её физические свойства, существенные в рассматриваемых задачах, одинаковы во всех направлениях. Среда называется линейной, если между величинами, характеризующими рассматриваемое внешнее воздействие на среду, существует прямо пропорциональная связь.Например, упругая среда, подчиняющаяся закону Гука, линейна по своим механическим свойствам. Бегущимиволнами называются волны, которые в отличие от стоячих волн, переносят энергию в пространстве.

Уравнение синусоидальной бегущей плоской и сферической волн, длина волны, фазовая скорость

Механические возмущения или деформации распространяются в упругой средес конечнойvскоростью. Поэтому возмущение, вызываемое источником волны в начальныймомент t₀ времени и приводящее к смещению частиц упругой средына максимальное A отклонениеот положения равновесиядостигает с запаздыванием на промежуток τ время M точекпространства, расположенных в плоскости равных фази находящихся от начала координатна y расстоянии. Плоскостью равных фазили волновой поверхностьюили фронтом волны называется геометрическое место точек, в которых фазаколебаний имеет одно и то же значение. Волновая поверхностьотделяет возмущённуюобласть упругой среды, в которой частицы этой среды вовлечены в волновойпроцесс, от невозмущённойобласти, в которой частицыупругой среды находятся в равновесном состоянии. Волна называется плоской, если её волновые поверхностипредставляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу. В плоской волне, распространяющейся вдоль OY оси, все s величины, характеризующие смещение точек среды относительно положения равновесия в процессе колебательного движения, зависят от t времении y координаты рассматриваемой точки среды.

На рис. 02.0. 16 в начальный моментt₀ = 0 времени И источник, находящийся в плоскости, проходящей через OO начало координат, создаёт в упругой среде плоский волновой фронт, т.е. все частицы, находящиеся вПл.1плоскостиравных фазимеют одинаковыеотклоненияотносительноположения равновесия, равные A амплитудеколебаний.

Если Иисточниксоздаётгармонические колебания в Пл.1плоскостиравных фаз, которая в момент t₀ = 0 временинаходится в начале OO координат, то зависимость s=s(t) отклонения колеблющихсячастицот положенияравновесияв Пл.1 плоскости равных фаз произвольный момент t времени подчиняется (2.28) уравнению: s =A cos(ωt+ φ₀), где ω – циклическая частотагармонических

волнового фронта,в OO началекоординат частицы упругой средысогласно (2.8) уравнению будут находиться в положении равновесия, т.е. sотклонения колеблющихсячастицот положения равновесиябудут равны 0. По упругой средев положительном(рис. 02.0.17)направлении OY оси к моменту t₁ = T/4 времени A максимальноеотклонение частицот положения равновесиядойдёт в направлении k волнового вектора, направленного в положительную сторону OY оси, с фазовой

vскоростьюдо Пл.2 плоскости, проходящей через MM прямую и отстоящей от OO начала координат на y₁ = λ/4 расстоянии, где λ - длина плоской бегущей волны. Отклонениеs₁ от положения равновесия в Пл.2 плоскости, проходящей через MM прямую, с учетом τ = T/4 временного запаздывания, за которое плоская бегущая волнараспространяется от И источника до этой

Пл.2 плоскости, согласно (2.66) имеет следующее значение:s₁ = Acosω( t₁ - τ) = A cosω(t₁ - T/4) = A, (2.67) где t₁ = T/4 - момент времени, отсчитанное от начального t₀ = 0 времени. Ещё через три четверти 3T/4периода колебанийИ источника плоского волнового фронта, т.е. к моменту t₂ = T времени, максимальное A отклонение частицот положения равновесиядойдёт в направлении k волнового вектора, направленного в положительную сторону OY оси, с фазовойvскоростьюдо Пл.2 плоскости, отстоящей от OO начала координат на расстоянии y₂ = λ. При этом И источник плоского волнового фронта вернётсяв первоначальное состояние, в котором он находился в момент t₀ = 0 времени, т.е совершитодин периодT своих колебаний. Таким образом,плоский волновой фронт или плоская волна,находящаяся вначальный моментt₀ = 0 времени (рис. 02.0.16), (рис. 02.0.17) вПл.1плоскости,за Δt = T промежуток времени распространитсяна расстояние,равноеλдлине волны. Согласно (рис. 02.0.2) представлению колебаний векторными диаграммами одному периодуT гармонических колебаний И источника(рис. 02.0.16) плоской волнысоответствует поворот вектора A с модулём, равным амплитудегармонических колебаний этого

И источникаплоской волны, на 2π угол.За время Tпериодагармонических колебаний И источникаплоская волнараспространитсявупругой средена расстояние от этого И источника,равноеλдлине плоской волны. За время распространения плоской волны на λ расстояниеИ источник гармонических колебаний изменит фазусвоих колебаний на угол 2π. Поэтому частицыупругой среды, имеющие расстояние между собой, равное λдлине волны, имеют различие по фазеколебаний этих частиц, равное 2π. Фазоваяvскоростьволны численно равна расстоянию, на которое перемещаетсяПлплоскостьравных фаз этой волны за единицу времени, вследствие чего выражение для определения фазовойvскоростиимеет следующий вид:v = λ/T . (2.68) где λ - расстояние, численно равное длине волны,котороеплоская волнапреодолевает с фазовойvскоростьюза промежуток времени, численно равный Tпериодугармонических колебаний И источникаэтой плоской волной.

В произвольный моментt времени плоская волна будет находиться на y расстоянии от начала координат, в которое придет с τ = y/vвременным запаздыванием, где v - фазовая скорость перемещения (2.68) в (рис. 02.0.17) направлении k волнового вектора, перпендикулярного Пл.2 плоскому волновому фронту и направленного в положительную сторону OY оси. Вследствие этого

s=s(t) отклонениеот положения равновесия частиц упругой средывпроизвольный моментt времени, т.е. уравнениераспространяющейся в положительную сторону OY оси плоской синусоидальной волны, с учетом (2.67) имеет следующий вид:

s = A cos[ω(t - τ)+ φ₀] = A cos[ω(t - y/v)+ φ₀] = Acos[ωt - (ωy/v) + φ₀] = Acos(ωt - ky + φ₀), (2.69) где y - координата упругой среды, в которой определяется s=s(t) отклонение; φ₀ - начальная (2.8) фаза колебаний частицупругой среды в Пл.1 плоскостис y = 0 координатой, т.е. в Пл.1плоскости равных фаз, где находится (рис.2.16) И источник гармонических колебаний, в начальный момент

t₀ = 0 времени; k = ω/v - волновое число, равное модулю k волнового k вектора, перпендикулярного (рис. 02.0.17) плоскомуПл.2 волновому фронту и направленного в положительную сторону OY оси в упругой среде.

С учетом выраженияω = 2πν = 2π/Tциклической или круговойчастоты периодических колебанийиз параграфа " Кинематика гармонических колебаний", где ν - частота гармонических колебаний, создаваемых Иисточником(рис. 02.0.16) в упругой среде, волновоеkчисло (2.69) принимает следующий вид: k = ω/v = 2π/vT = 2π/λ. (2.70) где λ = vT - расстояние(2.68), численно равное длине волны,котороеплоская волнапреодолеваетс фазовойvскоростьюза промежуток времени, численно равный Tпериодугармонических колебаний И источникаэтой плоской волной.

Величина (2.69) Ф₁ = ω(t - y/v)+ φ₀ = ωt - ky+ φ₀ равна фазовому углу, который имеют частицы упругой среды, находящиеся на y расстоянии от И источникагармонических колебаний, при своём отклоненииот положения равновесияв данный момент t времени. Эта Ф₁ величина называется фазой волны, распространяющейся в положительном(рис. 02.0.17)направлении OY оси. Вдоль отрицательного(рис. 02.0.17)направления OY оси в момент t₁ = T/4 времени частицы упругой среды, находящиеся на y = λ/4 расстоянии от И источника гармонических колебаний в Пл.3плоскостиравных фазбудут иметь отклонение от положения равновесия, равноеA амплитуде, но в противоположную сторонупо сравнению с отклонениямичастиц упругой средыв Пл.2 плоскостиравных фаз положительногонаправления OY оси. Источник И гармонических колебанийфазв момент t₁ = T/4 временибудет иметь (рис. 02.0.2) фазовый угол, равный π/2, а частицы упругой среды в Пл.3 плоскости равных фазбудут находиться в фазе π, опережающей фазовый уголэтого источника на угол π/2. Поэтому при распространении волнывдоль отрицательного(рис. 02.0.17)направления OY оси величина (2.69) ky, зависящая от расстояния Пл.3 плоскости равных фазколебаний частиц до И источника, будет определять опережениеФ₂ фазы волныпо сравнению с ωt + φ₀ фазойгармонических колебаний И источника. ФазаФ₂ волны в случае её распространения в отрицательном(рис.2.17)направления OY оси в произвольныймомент t временибудет иметь следующий вид: Ф₂ = ωt + ky+ φ₀.(2.71)Уравнениераспространяющейся в отрицательную сторону OY оси плоской синусоидальной волны, т.е. s=s(t) зависимость отклонения от положения равновесия частиц упругой среды впроизвольный момент tвремени, распространяющейся вдоль отрицательногонаправления OY оси, по аналогии с (2.69) и с учётом (2.70) будет иметь следующий вид: s = A cos(ωt + ky+ φ₀), (2.72) где y – имеет положительноечисленное значение и равняется расстоянию от 0 начала координат по OY оси до волнового фронта плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль отрицательногонаправления OY оси в произвольныймомент t времени. ФазыФ₁ (2.69) и Ф₂ (2.71)упругих волнвеличиныпостоянные при распространении соответственно в положительноми отрицательномнаправлениях по OY оси в плоскости равных фаз. Поэтому для волнового фронта плоской синусоидальной волны зависимость Ф₁ фазы(2.69)и Ф₂ (2.71)этой волны от y координаты колеблющихся частиц упругой среды, начальной φ₀ (2.70) фазы колебаний частицупругой среды имеет следующий вид: Ф_2,1 = ωt ± ky + φ₀ = const.(2.73) где знаки "+", "-" указывают на распространение плоской синусоидальной волны в упругой средесоответственно в отрицательномиположительномнаправлениях по OY оси. Возьмём первую производную по t времениот левой и правой частей (2.74) выражения вследствие чего выражение для определения фазовойvскорости имеет следующий вид:

dФ_2,1/dt = d(ωt)/dt ± d(ky)/dt + d(φ₀)/dt ↔ 0 = ω ± kdy/dt = 0 ↔ dy/dt = ± ω/k. (2.74) С учётом равенства первой производной от y координаты волнового фронта плоской синусоидальной волны по t времени фазовой v скорости перемещенияэтоговолнового фронтав направлении (рис. 02.0.17 ) k волнового вектора,т.е.dy/dt=v, выражение (2.74) принимает следующий вид:v = ± ω/k, (2.75) где ω- циклическая частота гармонических колебаний (рис.2.16) И источника, вследствие чего в упругой средевозникаетволна; k - волновое число, равное k модулю k волнового вектора, направленного (рис. 02.0.17 )по OY оси, тогда в правой части (2.76) выражения ставится "+" знак, и направленного (рис. 02.0.17 ) противоположно OY оси, тогда в правой части (2.76) выражения ставится "-" знак.