Вращающийся Aвектор, равный сумме векторов A1 иA2 , изображающих соответственногармонические колебания1 - го грузикаотносительно 2- го грузикаи гармонические колебания 1 страница

2грузикавместе с 1 грузикомотносительно O началакоординатв произвольный момент

t времени, т.е. A = A1 + A2, изображает результирующее колебание1 грузика относительно O начала координат.

Фазы колебаний1 - го (2.14) и2- го (2.15) грузиков на рис.2.5 в данный момент t времени обозначены соответственно Ф1 и Ф2, а фаза Фрезультирующего колебания1 - го грузика относительно O начала координат обозначена Ф. В произвольный момент времени Ф1 и Ф2 фазы колебаний1 - го (2.14) и2- го (2.15) грузиков имеют следующий вид:

Ф1 = ω1 t+ φ1; Ф2 = ω2 t+ φ2. (2.16)

Результирующееz поOZосиколебание1 - го грузика относительно O началакоординат определится следующим сложением двух одинаково направленных гармонических колебанийz1 1 - го (2.14) грузика относительно 2- го грузика(рис. 02.0.4) и z2 2- го (2.15) грузика относительно O началакоординат: z = z1 + z2 = A1 cos(ω1t+ φ1) + A2 cos(ω2t+ φ2 ) = AcosФ, (2.17) где A и Ф - соответственно амплитуда и фаза результирующих гармонических колебаний1 - го грузика относительноO начала

координат; z - результирующаякоордината 1 - го грузика, т.е. отклонение от положения равновесия 1 - го грузикав зависимости от t времени, когда учитываются его (2.11) z1 колебания на а пружине в системе координат, связанной со 2 - ым грузиком,а также учитываются его (2.12) z2 колебанияна bпружинекак единое целое со 2 - ым грузиком относительно O начала координат.

 
Амплитуда(2.17) Aрезультирующих гармонических колебаний1 - го грузикаотносительно O начала координат равна A модулю результирующеговектораA (рис. 02.0.5)навекторной диаграмме.

По теореме косинусов A модуль результирующеговектораA (рис. 02.0.5)навекторной диаграмме имеет следующий вид:

A = {A12 + A22 - 2A1A2 cos [π -(Ф2 1)]} 1/2 =[A12 + A22 + 2A1A2 cos (Ф2 1)] 1/2.(2.18)

В выражении (2.18) Ф2 - Ф1 является разностью Ф2 фазыгармонических колебаний2- гогрузикавместе с 1 - ымгрузикомотносительно O началакоординатв произвольный момент

t времени и Ф1 фазыгармонических колебаний1 - го грузикаотносительно 2- го грузика.

Фаза Ф результирующеговектораA (рис.2.5)навекторной диаграмме результирующего поOZ осиколебания1 - го грузикаотносительно O началакоординат в (2.14) выраженииимеет следующий вид: tgФ = (A1 sinФ1+ A2 sinФ2)/(A1cosФ1+ A2cosФ2) ↔ ↔ Ф = arctg[(A1 sinФ1+ A2 sinФ2)/(A1cosФ1+ A2cosФ2)].(2.19) Два z1 и z2 гармонических колебания называются когерентными, если Ф2 - Ф1 разностьих фазне зависит от t времени и имеет следующий вид: Ф2 - Ф1 = (ω2 - ω1)t + (φ2 - φ1) = const (2.20) Выполнение условия (2.20) возможно, если ω2 = ω1 = ω. Тогда Ф2 - Ф1 разностьфаз когерентныхколебаний равна следующей φ2 - φ1 разности их начальных фаз: Ф2 - Ф1 = φ2 - φ1 = φ0 .(2.21) При выполнении (2.21) условия результирующее(2.17)z колебание двух складываемых

z1 и z2 гармоническихколебаний одного направления является тоже гармоническим с той же циклическойω частотой, что и эти складываемые колебания, вследствие чего zрезультирующееколебание двух складываемых z1 и z2 гармоническихколебаний имеет следующий вид: z = z1 + z2 = Acos(ωt + φ0). (2.22) Выражение для A амплитуды результирующегоколебания как суммыдвух когерентныхколебаний получается подстановкой (2.21) Ф2 - Ф1 = φ2 - φ1 разностифаз когерентныхколебаний в (2.18), вследствие чего получается следующее выражение: A = [A12 + A22 + 2A1A2 cos(φ2 - φ1)]1/2, (2.23)

Выражение(2.19) начальной Ф0фазы результирующегоколебания как суммыдвух когерентныхколебаний получается подстановкой в (2.13)начальногоt0 времени, равного нулю, т.е. t0 = 0, вследствие чего получается следующее выражение для начальной Ф0фазы результирующегоколебания: Ф10 = φ1; Ф20 = φ2 ↔ tgФ0 = (A1 sinφ1+ A2 sin φ2)/(A1cos φ1 + A2cos φ2) ↔ ↔ Ф0 = arctg[(A1sinφ1+ A2 sinφ2)/(A1cosφ1+ A2cosφ2)], (2.24)где (2.14) A1 , φ1, рад - соответственно амплитудаиначальная фазаприколебаниях 1 - го грузика на aпружинеотносительно 2- го грузика; (2.15) A2 , φ2, рад - соответственно амплитуда иначальная фазаприколебаниях 1 - го грузика на bпружинекак единое целое со 2 - ым грузиком относительно O начала координат.

В зависимости от значения φ2 - φ1 = φ0разности начальных фаз складываемых колебаний

A амплитуда результирующего колебания согласно выражению (2.23) изменяется в следующих пределах: от A = | A1- A2| при φ 2 - φ 1 = ±(2m + 1)π (2.25) до A = A1+ A2при φ 2 - φ 1 = ±2mπ, (2.26) где m = 0,1,2,… - любое целое неотрицательное число.

Если (2.26) φ2 - φ1 = φ0 = ±2mπ, т.е.разность начальных фаз складываемых когерентных колебаний кратна , то говорят, что складываемые колебания физической величины синфазны.В случае сложения синфазных механических,электромагнитныхили электромеханическихколебаний A амплитуда результирующего колебанияскладываемыхфизических величин максимальна.

Если (2.25) φ2 - φ1 = φ0 = ±(2m + 1)π,т.е.разность начальных фаз складываемых когерентных колебаний кратна нечётномучислу π , то говорят, что складываемые колебания физической величины противофазны.В случае сложения противофазных механических,электромагнитныхили электромеханическихколебаний A амплитуда результирующего колебанияскладываемыхфизических величин минимальна.

Результирующие колебания двух складываемых (2.17) гармоническихколебаний одного направления,циклические(2.2)частотыω1 и ω2 колебаний которых различны, т.е.ω2 ≠ ω1, являются некогерентными колебаниями, т.к. разность их фаз Ф = Ф2 - Ф1 = (ω2 - ω1)t + (φ2 - φ1) непрерывно изменяется с течением t времени. При сложении таких колебаний получаются негармонические результирующие колебания. Негармонические колебания, получающиеся в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебанийсблизкимиω1, ω2 (2.14), (2.15) циклическими частотами,т.е.| ω2 - ω1| << ω1, называются биениями.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот.

 

Пусть материальнаяM точка одновременно колеблется вдоль OY и OZ осей координатв соответствии со следующими уравнениями:

y = A1cos(ωt + φ1) ; z = A2 cos(ωt + φ2 ),(2.27) где y, z - координата материальнойM точки в зависимости от t времени при колебаниях соответственновдоль OY и OZ осей координат; ω- циклическаячастота(2.2) гармоническихколебанийматериальнойM точки, одинаковая по OY и OZ осям координат; A1 , φ1, рад - соответственно амплитудаиначальная фазаприколебанияхматериальнойM точки по OY оси;

A2 , φ2, рад - соответственно амплитудаиначальная фазаприколебанияхматериальнойM точки по OZ оси.

Ориентация в OYZ плоскости осей эллипса, а также его размеры зависят от A1 и A2 амплитудскладываемых(2.24)взаимно перпендикулярных гармонических свободных незатухающих колебанийматериальнойM точкии φ2 - φ1 разности начальных фазэтихскладываемыхколебаний. Если в (2.25) φ2 - φ1 = ±(2m + 1)π/2, где m = 0, 1, 2,…, n, то оси эллипса,
УравнениеТ траектории(рис. 02.0.6)результирующего движения материальной M точки в

OYZ плоскости можно найти, выразив из (2.24) уравнения z = A2 cos(ωt+ φ2 ) колебания материальной M точки по OZ оси параметр ωt =[arcos(y/A2)] - φ2, подставив этот параметр ωt в уравнение y = A1 cos(ωt+ φ1) колебания материальной M точки по OY оси. Исключив таким образом из уравнений (2.27) tвремени, получаем следующее уравнениеТ траекториирезультирующего движения материальной M точки в OYZ плоскости: (y2/A12) + (z2/A22) - (2yz/ A1A2)cos(φ2 - φ1) = sin22 - φ1). (2.28)

На OYZ плоскости (2.28) уравнение Т траектории результирующего движения материальной M точки представляет собой эллипсс A1 и A2 полуосями, равными (2.27) A1 и A2 амплитудам складываемых взаимно перпендикулярных гармоническихколебаний этой материальнойM точки.

Ориентация в OYZ плоскости осей эллипса, а также его размеры зависят от A1 и A2 амплитудскладываемых(2.24)взаимно перпендикулярных гармоническихколебанийматериальнойM точкии φ2 - φ1 разности начальных фазэтихскладываемыхколебаний. Если в (2.28) φ2 - φ1 = ±(2m + 1)π/2, где m = 0, 1, 2,…, n, то оси эллипса,

 

являющегося Т траекторией(рис. 02.0.6)результирующего движения материальной M точки в

OYZ плоскости, совпадают с OY и OZ осями координат, а размеры полуосей этого эллипса равны

A1 и A2 амплитудам складываемых(2.24)взаимно перпендикулярных гармоническихколебанийматериальнойM точки.

Уравнение Т траектории результирующего движения материальной M точки (2.28) в этом случае примет следующий вид: (y2/A12) + (z2/A22) = 1. (2.29) МатериальнаяM точка, колеблющаяся вдоль взаимно перпендикулярныхнаправлений с одинаковой циклической(2.2)ωчастотой, совершает один полный оборот по Т траектории,представляющийсобой(рис. 02.0.6) эллипс,за время, равное T = 2π/ω периоду складываемыхколебаний.

Если A1 и A2 амплитуды складываемых(2.27)взаимно перпендикулярных гармоническихколебанийматериальнойM точки равны друг другу, т.е. A1 = A2, то Т траектория(2.29)результирующего движения материальной M точки представляет собой окружность.

В тех случаях, когда φ2 - φ1 разность начальных фаз складываемыхколебаний кратна π, т.е. φ2 - φ1 = ±mπ, где m = 0, 1, 2,…, n, то Т траектория(2.28) результирующего движения материальной M точкииз эллипса вырождаетсяв отрезок прямой, вследствие чего уравнение Т траектории этого результирующего движения материальной M точки примет следующий вид: z = ± ( A1/ A2)y. (2.30) Знак "+" в выражении (2.30) соответствует сложению взаимно перпендикулярных гармоническихколебаний, когда эти колебания синфазны, а знак "-" соответствует сложению противофазных колебаний.

Z

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с циклическими частотамии , где p и q - целые числа: y= A1 cos(pωt+ φ1); z = A2 cos(qω t+ φ2), где p и q - целые числа, приводит к движению материальной M точкипо траектории, названной фигурой Лиссажу. На рис. 02.0.7 приведены различные случаи Т траекторийдвижения материальной M точки, колеблющейся во взаимно перпендикулярныхнаправлениях с указанными соотношениями циклических и частот.

Отношение частот и складываемых колебаний равно отношению числа касанийсоответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельнойOZоси, и со стороной, параллельнойOY оси.

 

Лекция 5. Динамика гармонических колебаний. Кинетическая и потенциальная энергия гармонического осциллятора. Полная механическая энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазовая траектория колебательной системы. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника и его решение. Квазиупругая сила колебательной системы. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. Декремент и логарифмический декремент свободных затухающих колебаний. Добротность колебательной системы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Механический резонанс колебательных процессов

 

Динамика гармонических колебаний. Кинетическая и потенциальная энергия гармонического осциллятора и импульс гармонического осциллятора

 

У некоторых механических систем потенциальная Wp энергия является функцией одной переменной. Если у такой механической системы существует устойчивоеположение равновесия, в котором потенциальная Wp энергия этой механической системы имеет минимум, а полная WΣ энергия, т.е. сумма кинетическойWk и потенциальной Wp энергии, величина постоянная, т.е. не зависят от t времени, то такую механическую систему называют гармоническим осциллятором.

В гармоническим осцилляторе материальная точкаm массой совершает свободные незатухающие колебанияпод действием упругойили квазиупругойсилы.

 
 
Гармоническим осцилляторомявляется пружинный маятник(рис. 02.0.8), у которого материальная точкаm массой совершает незатухающие свободные, вследствие отсутствия сил сопротивления, прямолинейные гармоническиеколебания с циклическойω0 (2.2) частотой относительно O началакоординат, которое находится в точке устойчивогоравновесия этого пружинного маятника. Второй законНьютонав проекции на OY ось с учётом направлениявектора Δy смещения (рис. 02.0.8) пружинного маятника относительно устойчивогоположения равновесияпо правилу определения проекций (2.1) и по аналогии с (2.2) имеет следующий вид: OY: m(d2y/dt2) = Fупрy; Fупрy = - mω02y ↔ m(d2y/dt2) = - mω02y,(2.31) где аналогично (2.2) проекция Δy на OY ось вектора Δy смещения пружинного


 

маятника заменена равной этой Δy проекции величиной y координаты, отсчитанной от O началакоординат, которое находится в точке устойчивогоравновесия пружинного маятника.

В (2.31) применено равенство m(d2y/dt2) = Fупрy потому, что по OY оси на материальную точкуm массой действует единственная сила, которой является (рис. 02.0.8) сила упругости пружины, вектор Fупр (1.104)из раздела 01.0 "Физические основы механики" которой является равнодействующим

векторомсилы, приложенным к материальной точке. Приложенные по OZ оси к материальной точкеm массой вектора mgсилы тяжести и N силы реакции опоры уравновешивают друг друга. Если пружинный(рис. 02.0.8) маятникрастянут, т.е. y1 координатаматериальной точкиm массой больше нуля, то векторы a1 ускорения и F1упрсилы упругости коллинеарны j единичному вектору(1.1) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" и направлены противоположно этому

j единичному вектору.

Если пружинный(рис. 02.0.8)маятник сжат, т.е. y2 координата материальной точкиm массой меньше нуля, то векторы a2 ускорения и F2упрсилы упругости коллинеарны j единичному вектору(1.1) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" и направлены в одну сторону с этим

j единичным вектором.

По аналогии с (1.97) – (1.107) из раздела 01.0 "Физические основы механики" и с

учётом (2.31) определяем Wpпотенциальную энергиюматериальной точки m массой при её отклонении (2.28) на величину y = s(t) = A cos(ωt+ φ0) относительно равновесия под воздействием упругой силыFупрy в заданный моментtвременииз следующего выражения:

Wp y

dWp = - Fупрydy ↔ dWp = mω02ydy ↔ Wp = ∫dWp = ∫mω0 2ydy = (mω0 2y2)/2 = 0 0

= (mω02A2/2)cos20t+ φ0) = (mω02A2/4)[1+ cos(2ω0t+2φ0)].(2.32) Согласно (2.32) Wpпотенциальная энергия, графическая зависимость которой на рис. 02.0.9 от величины отклонения Δy пружинного маятникаотносительно положения равновесия изображена короткимипунктирными линиями оранжевого цвета, минимальна в точке устойчивогоравновесия

этого пружинного маятника, совпадающей сOначаломкоординат. При максимальном отклонениипружинного маятникаотположенияравновесия, когда модуль |Δy| вектора Δy смещения равенамплитуде колебанийэтого пружинного маятника, т.е. |Δy| = y = A, потенциальнаяWpэнергиясогласно (2.33) становитсяравной (mω0 2A2)/2. Согласно (2.33) Wpпотенциальная энергия, графическая зависимость которой на рис. 02.0.9 от величины отклонения Δy пружинного маятникаотносительно положения равновесия изображена короткимипунктирными линиями оранжевого цвета, минимальна в точке устойчивогоравновесия этого

пружинного маятника, совпадающей сOначаломкоординат.

При максимальном отклонениипружинного маятникаотположенияравновесия, когда модуль |Δy| вектора Δy смещения равенамплитуде колебанийэтого пружинного маятника, т.е. |Δy| = y = A, потенциальнаяWpэнергиясогласно (2.33) становитсяравной (mω0 2A2)/2. ПотенциальнаяWpэнергия(2.32)пружинного маятникаизменяется с циклической0 (2.2) частотой в 2 раза превышающей ω0 циклическуючастотупрямолинейных гармоническихколебаний (рис. 02.0.8) материальной точкиm массой.

КинетическаяWkэнергия(1.88) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" материальной точки m массой, совершающей прямолинейные гармоническиеколебания по OY оси с учетом (2.9) ds/dt = dx/dt = v = - Aωsin(ωt+ φ0) скорости смещенияэтойматериальной точки m массой в произвольный моментtвремени имеет следующий вид: Wk = mv2/2 = = (mω02A2/2) sin20t+ φ0) = (mω02A2/4)[1 - cos(2ω0 t+2φ0)] = = (mω02A2/2)[1 - cos20t + φ0)] = (mω02/2)(A2 - y2).(2.33) Согласно (2.33)Wkкинетическаяэнергия, графическая зависимость которой на рис.2.9 от величины отклонения Δy пружинного маятникаотносительно положения равновесия изображена длиннымипунктирными линиями бирюзового цвета, максимальна в точке устойчивогоравновесия этого пружинного маятника, совпадающей с Oначаломкоординат.При максимальном отклонениипружинного маятникаотположенияравновесия, когда модуль |Δy| вектора Δy смещения равенамплитуде колебанийэтого пружинного маятника, т.е. |Δy| = y = A, кинетическаяWk энергия согласно (2.33) становитсяравной нулю.








Дата добавления: 2016-02-14; просмотров: 821;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.027 сек.