Решение волнового уравнения для неограниченной струны.

В математической физике эту задачу принято называть задачей Коши. Ее решение строится в виде суммы прямой и обратной бегущей волны

. (5.33)

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение (5.33) обращает волновое уравнение (5.32)в тождество при любом виде функций и .

Запишем решение волнового уравнения при заданных начальных условиях:

; .

Покажем, что решение волнового уравнения

удовлетворяет заданным начальным условиям. Так как при интеграл в этом выражении равен нулю, то выполняется первое начальное условие: . С другой стороны

,

поэтому выполняется второе начальное условие

.

То есть задача решена.

Пример 4.Получить дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний струны, лежащей на упругом безынерциальном основании, рис.5.9, и определить собственные частоты колебаний. Натяжение струны равно , масса единицы длины . При смещении струны из положения равновесия на нее действует восстанавливающая сила, пропорциональная смещению струны, коэффициент пропорцио­нальности которой .

Рис.5.9.

Решение:

Воспользуемся для решения задачи уравнением (5.30). Внешняя нагрузка будет вызвана восстанавливающей силой со стороны упругого основания и направлена противоположно перемещению конечного элемента струны. С учетом этого, уравнение примет вид:

или

(5.34)

где . Решение уравнение (5.34) ищем в виде . После подстановки в (5.34) и преобразований имеем обыкновенное дифференциальное уравнение:

или

.

Решение этого уравнения будем искать в виде

Запишем краевые условия:

и ,

из которых следует

и

или

, .

Откуда, частоты колебаний струны, лежащей на упругом основании, равны

.