II.7.Характеристические уравнения САР

Рассмотрим замкнутую САР (рис.II.27). Возьмём для определённости САР с единичной отрицательной обратной связью (получение характеристических уравнений для других случаев, например, с неединичной или положительной обратными связями принципиально ничем не отличается от рассмотренного ниже).

Рис. II.27. Замкнутая САР.

Передаточная функция рассматриваемой системы имеет вид

(II.7.1)

причём для реальных технических систем n ≥ m. Передаточная функция разомкнутой системы играет весьма большое роль в теории автоматического регулирования, т.к. многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой характеристики.

Для замкнутой САР, изображённой на рис.II.27, передаточная функция имеет вид

(II.7.2)

Полиномы знаменателя (вспомним II.3.3) передаточной функции разомкнутой системы (II.7.1)

А(р) =

и передаточной функции замкнутой системы (II.7.2)

А(р)+В(р)= = + =

называются характеристическими полиномами. Поскольку n ≥ m, то порядок полинома А(р) + В(р) останется прежним, равным n, т.е. таким же,чтои у А(р), только коэффициенты полинома замкнутой системы c_i будут отличаться от коэффициентов разомкнутой системы a_i. В дальнейшем характеристический полином любой системы (замкнутой или разомкнутой) будем представлять в виде

D(p) = (II.7.3)

Например, если то только для разомкнутой системы, поскольку D(p) = A(p) = коэффициенты этого уравнения равны, соответственно, = 4, = 4, = 1, = 0, а для замкнутой системы

А(р)+В(р) =

коэффициенты характеристического уравнения примут значения = 4, = 4, = - 2, = 1.

Приравнивание нулю полинома (II.7.3) даёт характеристическое уравнение системы

D(p) = = 0 . (II.7.4)

Такое название это уравнение получило потому, что оно характеризует, определяет переходный процесс в системе, т.е. динамику САР.