II. 5. Основные правила преобразования структурных схем
Для получения математического описания САР мы провели разбивку всей системы на отдельные элементы и записали основной закон, характеризующий протекание динамического процесса в каждом из этих элементов. Поскольку математические зависимости, описывающие процессы в элементах, носят, как правило, нелинейный характер, нам пришлось в случае несущественных нелинейностей линеаризовать эти нелинейные дифференциальные или алгебраические уравнения.
В результате этой операции мы получили столько линейных уравнений (дифференциальных или алгебраических), на сколько элементов мы разбили всю систему. Каждое из этих уравнений связывает входной и выходной сигналы элементов, а нам, поскольку мы ставим задачу получить математическое описание всей САР, необходимо уравнение, связывающее входной и выходной сигналы всей системы. Задачу можно решить, если из совокупности уравнений элементов последовательно исключать промежуточные переменные, оставив в конце концов уравнение, связывающее только входной и выходной сигналы САР. Другой, на наш взгляд, более рациональный путь заключается в таком преобразовании структурной схемы САР, чтобы из нее непосредственно можно было бы выявить связь между входным и выходным сигналами системы и тем самым получить уравнение (или передаточную функцию) САР.
Для такого преобразования структурных схем необходим соответствующий набор приемов, к изучению которых мы сейчас и приступим.
II. 5. 1. Последовательное соединение звеньев
Структурная схема любой исследуемой САР почти всегда содержит одну или несколько цепочек последовательно соединенных звеньев. При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего звена является входной величиной последующего звена (рис. II. 14, а)
Рис. II. 14. Последовательное соединение звеньев.
Передаточные функции каждого звена цепочки 
известны. Требуется заменить эту цепочку одним звеном с такой передаточной функцией W(p) (рис. II. 14, в), чтобы его входной 
и выходной 
сигналы остались такими же, как у рассматриваемой цепочки последовательно соединенных звеньев.
Поскольку по определению передаточной функции
для каждого из звеньев цепочки получим
………………………………………..
.
Следовательно, передаточная функция искомого заменяющего звена отсюда получится
(II.5.1)
Итак, передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.
II. 5. 2. Параллельное соединение звеньев
При параллельном соединение входная величина является общей для всех звеньев, а выходные величины звеньев алгебраически суммируются 
(рис. II. 15, а)
Требуется заменить это соединение одним звеном с такой передаточной функцией W(p) (рис. II. 15 в), чтобы его входной и выходной сигналы остались такими же, как у данных параллельно соединенных звеньев.
Рис. II. 15. Параллельное соединение звеньев.
Запишем согласно рис. II.15 а выходные сигналы звеньев (считая, что их передаточные функции известны) и суммируем их
или
.
Отсюда следует, что
. (II.5.2)
Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев.
II. 5. 3. Звенья, охваченные обратной связью
Обозначим передаточную функцию звена или совокупности звеньев, находящихся в прямой цепи, через W1(p), а в цепи обратной связи – через W2(p) (рис.II. 16 а).
Надо найти замену этому соединению звеном с такой передаточной функцией W(p), чтобы его соответствующие входной 
и выходной 
сигналы совпадали с аналогичными сигналами данного соединения (рис. II. 16 г).
Рис. II. 16. Звенья, охваченные обратной связью.
Здесь в сумматоре сигнал 
может складываться с сигналом 
(положительная обратная связь) или вычитаться из него (отрицательная обратная связь). На рис. II.16,а в цепи обратной связи расположено звено W2(p), поэтому здесь имеет место неединичная обратная связь.
Нетрудно получить
здесь верхний знак « − » относится к отрицательной обратной связи, а нижний
« + » - к положительной.
Из этих равенств получается
,
или после переноса слагаемого 
в левую часть
.
Здесь уже верхний знак «+» относится к отрицательной, а знак «–» – к положительной обратной связи.
Отсюда
. (II.5.3)
Таким образом, передаточная функция звена (звеньев), охваченных обратной связью, равна дроби, в числителе которой – передаточная функция прямой цепи, в знаменателе алгебраическая сумма («+» для отрицательной,«–» для положительной обратной связи) единицы и произведения передаточных функций прямой и обратной цепей.
Рис. II. 16,б переделан из рис. II. 16,а с тем расчетом, чтобы получилась единичная обратная связь. При этом выходным сигналом соединения стал «у». В этом случае передаточная функция согласно вышеприведенному определению примет вид:
, (II.5.5)
где 1 во втором слагаемом знаменателя – передаточная функция цепи обратной связи.
Рис. II.16,в получается из рис. II.16,а , если в качестве выходной величины взять сигнал рассогласования между сигналами 
и 
. В результате будем иметь дело с так называемой передаточной функцией по ошибке
.
Здесь уже 1 во втором слагаемом знаменателя – передаточная функция прямой цепи.
Из анализа соотношений (II.5.3), (II.5.4) и (II.5.5) видно, что для разных выходных сигналов системы передаточные функции различаются числителями, знаменатели же, характеризующие собственные свойства системы, везде остаются постоянными.
II. 5. 4. Переносы сумматора и узла (разветвления сигнала)
В качестве инструмента преобразования структурных схем часто используется перенос сумматора или узла через звено (звенья) по или против хода распространения сигнала (рис. II. 17 и II. 18).
Рис. II. 17. Перенос сумматора.
На рис. II.17,а сумматор расположен между звеньями W1(p) и W2(p). Выходной сигнал состоит из двух составляющих, обусловленных сигналами 
и 
. (II.5.6)
Если сумматор перенести через звено W2(p) по ходу распространения сигнала, то какие действия надо провести над сигналом 
, чтобы выходной сигнал не изменился? Если никаких действий не производить, то выходной сигнал в этом случае будет
.
Видно, что для того, чтобы сигнал 
совпадал с (II.5.6) надо составляющую пропустить через звено W2(р).
Значит, при переносе сумматора через звено по ходу распространения сигнала, надо переносимый сигнал умножить на передаточную функцию звена, через который переносим сумматор (рис. II. 17, б).
Если перенести сумматор через звено W1(p) против хода распространения сигнала, то, если никаких действий не производить над сигналом , выходной сигнал будет иметь вид
.
Видно, что для того, чтобы сигнал не изменился по сравнению с (II.5.6) надо составляющую 
пропустить через звено 
(рис. II.17.в), тогда сигнал будет совпадать с (II.5.6)
.
Проведем аналогичные рассуждения по поводу переноса узлов.
В узле, т.е. точке ветвления сигнала, величина 
(см. рис. II. 18 а) будет равна
. (II.5.7)
Если узел перенести через звено W2(р) по ходу распространения сигнала, то для того, чтобы ответвленный сигнал не изменился по сравнению с рис. II.18,а, надо его умножить на 
. В самом деле, из рис. 18 б следует, что
Таким образом, при переносе узла через звено W2(р) по ходу распространения сигнала надо ответвляющийся сигнал умножить на .
Если же узел перенести через звено W1(p) против хода распространения сигнала, то, как легко понять из рис. II.18 в, надо ответвляющийся сигнал
Рис. II. 18. Перенос узла.
умножить на передаточную функцию W1(p) звена, через которой переносим узел.
В заключении отметим (рис.II.19), что менять местами расположенные рядом сумматоры возможно, такая же операция возможна и с узлами. Переставлять же узел и сумматор, расположенные рядом, без дополнительных манипуляций невозможно.
Рис. II. 19. Перестановка узлов и сумматоров.
II. 5. 5. Замкнутые и разомкнутые САР. Одноконтурные и многоконтурные систем
Ранее замкнутая САР уже определялась как система с обратной связью. Замкнутую САР называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке получается разомкнутая система, состоящая из цепочки последовательно соединенных звеньев, не содержащей параллельных цепей и местных обратных связей (рис. II.20).
Рис. II. 20 Замкнутая одноконтурная САР.
Можно для наглядности представить замкнутую одноконтурную систему как бусы, когда на нить нанизаны бусинки – звенья САР. При размыкании САР в любом месте на этой разорванной нити будут последовательно одна к другой расположены бусинки-звенья. Передаточная функция этой последовательной цепочки звеньев, т.е. передаточная функция разомкнутой одноконтурной САР, будет согласно (II.5.1) равна
при этом передаточная функция разомкнутой системы не зависит от точки размыкания, т.к. на «нити» независимо от точки разрыва будет все те же самые «бусинки».
Для получения передаточной функции замкнутой одноконтурной САР надо по формуле (II.5.1) получить передаточные функции прямой цепи и цепи обратной связи
и свести дело к задаче 5.3 (рис. II.16,а).
Тогда передаточная функция замкнутой одноконтурной системы
Замкнутая САР называется многоконтурной, если при ее размыкании получается цепь, содержащая параллельные или обратные связи (рис. II.21), или, иначе, замкнутая САР называется многоконтурной, если она помимо главной обратной связи содержит местные и параллельные связи.
Рис. II. 21. Замкнутые многоконтурные САР.
Говорят, что многоконтурная САР имеет перекрещивающиеся связи, если контур обратной или параллельной связи охватывает часть другого контура параллельной или обратной связи. На рис. II.21,а перекрещивающихся связей нет, а на рис. II.21,б звено W3(р), принадлежащее параллельному контуру W1(p), W2(p), W3(p), одновременно принадлежит контуру обратной связи W3(p), W4(p), W5(p) (т.е. охватывается контуром обратной связи).
Для вычисления передаточной функции многоконтурной системы с перекрещивающимися связями необходимо прежде всего переносом узлов и сумматоров освободиться от перекрещивающихся связей. Затем преобразовать эту многоконтурную систему (уже без перекрестных связей) в замкнутую одноконтурную систему, после чего определить Wраз(р) и Wзам(p) искомой системы.
II. 6. Практикум.
Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 3388;