Влияние вязкого трения на параметрические колебания.

Рассмотрим влияние линейно-вязкого трения на колебательный процесс, описываемый с помощью уравнений Мейснера и Матье. Начнем с уравнения Мейснера, которое при наличии вязкого трения описывается уравнением

; ,

где - коэффициент вязкого трения; - обобщенный коэффициент инерции. Построим матрицу переноса

Матрица строится для уравнения

, где . (4.7)

Построим решение этого уравнения на интервале , где

(4.8)

Используя начальные условия: : , , можно найти коэффициенты первого столбца матрицы переноса

; . (4.9)

Для этого продифференцируем решение (4.8)

,

Тогда из начальных условий следует

,

кроме того, полагаем . В результате находим значение первой постоянной интегрирования

.

Окончательно решение и выражение для скорости записываются в виде

,

,

Используя соотношения (4.9), находим коэффициенты первого столбца матрицы переноса

,

,

Построим решение дифференциального уравнения (4.7) на интервале при начальных условиях: : ,

(4.10)

И соответственно для скорости

Коэффициенты второго столбца матрицы переноса определяются выражениями

; . (4.11)

Положим , тогда из начальных условий следует и далее . Поэтому решение уравнения и выражение для скорости запишутся в окончательном виде так:

,

,

а коэффициенты второго столбца матрицы переноса будут равны

,

.

Таким образом, матрица построена. Перейдем к построению матрицы . Уравнение движения для интервала запишем в виде

, где . (4.12)

Уравнения (4.7) и (4.12) идентичны и отличаются лишь значениями коэффициентов и . Поэтому элементы матрицы могут быть получены из элементов матрицы путем замены коэффициентов на коэффициенты

;

;

;

.

Наконец и матрица построена. Дальнейшие расчеты без компьютера провести невозможно.

Выводы:

Расчеты, осуществленные с помощью компьютерной техники, показывают, что демпфирование лишь несколько увеличивает области устойчивости, но не ограничивает амплитуду колебаний в областях неустойчивости (области параметрического резонанса). Если считать демпфирование нелинейным, то колебания в области параметрического резонанса могут оказаться ограниченными.