Крутильные колебания стержней.
Продольные колебания стержней.
Рассмотрим колебание стержня, к которому вдоль его оси приложена нагрузка 
, изменяющаяся вдоль координаты 
и зависящая от
времени 
(рис.5.1).
Рис.5.1.
Считая стержень упругим, вырежем из него бесконечно малый элемент 
. Продольные усилия, приложенные к его торцам, определяются выражениями:
, 
,
где 
- абсолютная упругая деформация стержня в сечении ; 
- относительная упругая деформация; 
- абсолютная упругая деформация бесконечно малого участка стержня элемента длины ; 
- модуль упругости материала; 
- площадь поперечного сечения (в общем случае площадь поперечного сечения 
зависит от координаты ).
Используя принцип Даламбера, составим уравнение равновесия сил
(5.1)
где 
- погонная масса стержня, - продольная внешняя нагрузка, приложенная к поверхности стержня, а последнее слагаемое, входящее в уравнение (5.1) представляет собой силу инерции, действующую на элемент стержня во время колебательного процесса. Обычно уравнение (5.1) принято записывать в форме:
.
И окончательно
. (5.2)
Крутильные колебания стержней.
Действуя, как и в случае продольных колебаний, вырежем бесконечно малой длины элемент стержня, к которому приложена распределенная нагрузка в виде скручивающего погонного момента 
.
Рис.5.2.
Воспользуемся силовой схемой, представленной на рис.5.2 и с помощью принципа Даламбера составим уравнение равновесия для бесконечно малого элемента стержня
, (5.3)
где - погонный внешний момент, приложенный к поверхности стержня; 
- сосредоточенный внутренний крутящий момент, приложенный к левому концу вырезанного элемента стержня; 
- сосредоточенный внутренний крутящий момент, приложенный к правому концу вырезанного элемента стержня; 
- массовый момент инерции стержня (осевой момент инерции масс); 
- угол поворота поперечного сечения стержня.
Крутящий момент на левом и правом концах элемента стержня можно представить в виде
, 
.
Здесь 
- жесткость на кручение. Тогда уравнение равновесия (5.3) запишется в виде
.
И окончательно
. (5.4)
Замечание. Уравнения (5.2) и (5.4) являются уравнениями вынужденных колебаний. Если внешняя нагрузка, приложенная к стержню, отсутствует 
и 
, то эти уравнения будут описывать свободные колебания стержня. При этом они имеют одинаковую математическую структуру, которая может быть представлена уравнением
(5.5)
Дата добавления: 2016-02-11; просмотров: 2955;