Ортогональность форм собственных колебаний.

Формы собственных колебаний ,…, являются решениями уравнения

Они обращают это уравнение в тождество, поэтому справедливы равенства

и .

Умножая первое уравнение на , а второе – на и интегрируя, найдем

;

Вычитая из первого равенства второе, найдем

(5.15)

Используя интегрирование по частям и учитывая граничные условия (5.11), можно показать

Поэтому выражение (5.15) упрощается

Так как собственные значения и не равны, то для выполнения последнего равенства должен обращаться в нуль интеграл

при .

Это и есть математическая запись условия ортогональности для форм собственных колебаний.

Условие ортогональности позволяет очень просто найти постоянные коэффициенты и , входящие в решение (5.13). Из выражений (5.14) следует

;

Откуда сразу находим

; .

Таким образом, задачи о свободных продольных и крутильных колебаниях полностью решены.

Пример 1. Получить дифференциальное уравнение для определения собственных частот продольных колебаний ступенчатого стержня (рис.5.3) из однородного материала плотности для случая, когда , . Найти первые четыре частоты колебаний стержня.

Рис.5.3.

Решение:

При постоянных и , и отсутствии внешней нагрузки , уравнение (5.2) примет вид:

где – погонная масса, - модуль упругости 1-го рода материала. Обозначим

- скорость распространения возмущений в стержне, тогда будем иметь:

Ищем решение этого уравнение в виде:

где - частота колебаний. После подстановки решения в уравнение и преобразований последнего, получим

Для каждого участка стержня длиной и справедливо записанное уравнение. Обозначим смещение и продольную силу на первом участке длины и соответственно смещение и продольную силу - на втором участке . Решение этого обыкновенного дифференциального уравнения для первого участка записывается в виде

Амплитудное значение продольной силы равно

На 1-м участке: , поэтому . Для амплитудного значения смещения свободного торца можно принять любое значение, например , следовательно

; .

На 2-м участке решение записывается в виде:

где изменяется от 0 до . Величина продольной силы на втором участке равна

Постоянные и можно определить из граничных условий в сечении стыковки двух участков

; ,

; .

В результате решение для второго участка запишется в виде

Для получения окончательного решения задачи следует удовлетворить еще одному граничному условию в сечении жесткой заделке , которое сводится к решению трансцендентного уравнения относительно частоты :

, где .

Решая это уравнение, например, графически, получим первые четыре корня:

; ; ; ,

им соответствуют частоты:

; ; ; .

Пример 2. Определить приближенное значение амплитуд вынужденных продольных колебаний стержня, изображенного на рис.5.4, при действии гармонической продольной силы , приложенной к свободному концу стержня. Площадь поперечного сечения стержня и погонная масса изменяются по законам и , соответственно.

Рис.5.4.

Решение:

Решим задачу методом Бубнова - Галеркина, ограничившись одночленным приближением. Запишем уравнение (5.2) в виде:

(5.16)

где – дельта-функция. Ищем решение уравнения (5.16) при установившихся вынужденных колебаниях в виде , подставив его в (5.16), получим:

(5.17)

Примем , где - амплитуда установившихся колебаний, соответствующая собственной форме колебаний однородного стержня. Используя метод Бубнова - Галеркина, имеем

Учитывая, что

и интегрируя последнее выражение, получим:

Пример 3. Вывести дифференциальные уравнения для определения собственных частот крутильных колебаний вала круглого поперечного сечения с дисками на концах (рис.5.5). Моменты инерции масс дисков и , плотность материала вала . Показать, что при (безынерционный вал), частота колебаний дисков равна

Рис.5.5.

Решение:

Из уравнения (5.4) при отсутствии внешнего момента и постоянном осевом моменте инерции вала , получим:

или ,

где - скорость распространения волны сдвига, - модуль упругости 2-го рода материала, - полярный момент инерции сечения вала, - отношение моментов инерции. Решение ищем в виде , после подстановки и преобразований получим обыкновенное дифференциальное уравнение: