Определение 1.Пустьданы матрицы K и K ,причёмчисло столбцовматрицы равно числу строкматрицы .

Произведениемматрицы на матрицубудем называть такую матрицу строения на , элементы которой вычисляются по формуле , или что то же самое для всех и .

Обозначать матрицу будем так: .

Заметим, что как следует из определения 1, произведение строки длины на столбец высоты имеет смысл. В результате получаем матрицу строения 1 на 1, т.е. число:

Пользуясь введёнными обозначениями элемент можно записать так:

.

Таким образом, если и , то

Пример 1. Если , , то

Замечание 1. Перемножать можно лишь такие матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Схематически это можно изобразить так:

Замечание 2. Из определения следует, что даже если произведение матриц имеет смысл, то произведение может не иметь смысла. Например, . Однако, произведение

не имеет смысла, т.к. .

Даже если оба произведения имеют смысл и имеют одинаковое строение, то в общем случае .

Например, .

Замечание 3. В дальнейшем часто будем использовать введённое выше определение умножения матриц в случае, когда элементы одной матрицы – числа, а элементы другой – векторы, причём строение этих матриц согласовано так же, как в определении.

Пример 2. Например, .

Пример 3.