Свойства умножения матриц.

Для любых матриц K , K , K и любого числа

Kсправедливы равенства:

1. (ассоциативность умножения);

2. (дистрибутивность по первому сомножителю);

3. (дистрибутивность по второму сомножителю);

4. ;

5. ;

6. .

Доказательство.

1. Из определения 1 следует, что произведения , , и имеют смысл и две последние матрицы имеют строение на . Следовательно, нужно доказать, что в равенстве 1 в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы.

, где . Теперь рассмотрим элемент матрицы , стоящий в - ой строке и - ом столбце:

для всех . Следовательно, .

2. Из определения 1 следует, что матрицы , , в равенстве 2 определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, матрицы в обеих частях равенства 2 имеют одинаковое строение и нужно доказать, что в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы.

Рассмотрим элемент

для всех . Здесь мы воспользовались ещё определением сложения матриц, коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью для чисел.

Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

Свойство 3 (дистрибутивность по второму сомножителю), которое доказывается аналогично свойству 2, предлагается доказать самостоятельно.

4. Из определения 1 и определения умножения матрицы на число следует, что матрицы , , определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, нужно доказать, что в обеих частях равенства 4 на одинаковых местах стоят равные элементы.

для всех .

Следовательно, . Здесь мы воспользовались ещё определением умножения матрицы на число, ассоциативностью и дистрибутивностью для чисел.

Равенство , которое доказывается аналогично предыдущему, предлагается доказать самостоятельно.

5. Из определения 1 следует, что матрицы и определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, все матрицы в равенствах 5 имеют одинаковое строение и нужно доказать, что на одинаковых местах стоят равные элементы.

для всех .

Следовательно, . Аналогично доказывается равенство .

6. Из определения 1 следует, что обе матрицы и имеют одинаковое строение на , причём все элементы обеих матриц равны нулю. Следовательно, . Аналогично доказывается равенство .

Замечание 1. Пусть K .Тогда в силу ассоциативности умножения матриц справедливо равенство . Таким образом, способ расстановки скобок в этом произведении безразличен, так же, как и способ расстановки скобок в произведении . Отсюда получаем, корректность следующего определения.