Свойства операции транспонирования.

Для любых матриц K , K , K и любого числа

Kсправедливы равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Доказательство.1. Из определения операции транспонирования следует, что в обеих частях равенства 1 стоят матрицы строения на . Сравним элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах:

для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

2. Из определений операций сложения и транспонирования матриц следует, что в обеих частях равенства 2 стоят матрицы строения на . Сравним элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах:

для всех и . Здесь мы воспользовались определением сложения матриц.

Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

3. Из определений операций умножения матрицы на число и транспонирования матриц следует, что в обеих частях равенства 3 стоят матрицы строения на . Сравним элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах: для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

4. Из определений операций умножения матриц и транспонирования матриц следует, что в обеих частях равенства 4 стоят матрицы строения на . Сравним элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах: для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .