Определение определителя - го порядка.

Определение 1. Определителемквадратной матрицы K порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Слагаемое берётся со знаком плюс, если перестановка вторых индексов чётная, при условии, что первые индексы стоят в порядке возрастания. Слагаемое берётся со знаком минус, если перестановка вторых индексов нечётная, при условии, что первые индексы стоят в порядке возрастания.

Определитель квадратной матрицы -го порядка называют определителем -го порядка.

Замечание 1. Определитель имеет смысл только для квадратной матрицы. Если

, то определитель матрицы обозначают так: или так:

. Очевидно, K.

Запишем словесное определение с помощью формулы. В каждое слагаемое определителя входит сомножителем один элемент из каждой строки матрицы. Следовательно, каждое слагаемое можно записать так: . Вторые индексы сомножителей в этом произведении образуют перестановку, т.к. в это произведение входит сомножителем один элемент из каждого столбца. Поскольку определитель равен сумме всевозможных таких слагаемых, то таких слагаемых столько, сколько различных перестановок из элементов, т.е.

.

По определению определителя слагаемое берётся со знаком плюс, если перестановка чётная, и со знаком минус в противном случае. Таким образом, слагаемое

берётся со знаком , где Z.

Таким образом, определение определителя квадратной матрицы порядка может быть записано так:

.

В этой формуле суммирование ведётся по всевозможным перестановкам из элементов.

Покажем теперь, что данные выше определения определителей 2-го и 3-го порядков являются частными случаями определения определителя -го порядка.

Пример 1. Рассмотрим определитель . Выберем элементы из первой строки матрицы этого определителя. Это могут быть или . Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать только , т.к. первый столбец уже «занят» ( стоит в первом столбце).

Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать только , т.к. второй столбец уже «занят» ( стоит во втором столбце).

Теперь выясним, с каким знаком входит каждое из этих произведений в определитель. В обоих произведениях и сомножители стоят в порядке возрастания номеров строк. Поэтому нужно найти число инверсий в перестановках и . Очевидно, . Следовательно, берем со знаком плюс, а - со знаком минус. Таким образом, , что совпадает с определением определителя 2-го порядка, данным ранее.

Пример 2. Рассмотрим определитель . Выберем элементы из первой строки матрицы этого определителя. Это могут быть , или . Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать или , т.к. первый столбец уже «занят» ( стоит в первом столбце).

Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать или , т.к. второй столбец уже «занят» ( стоит во втором столбце).

Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать или , т.к. третий столбец уже «занят» ( стоит в третьем столбце).

Если после выбора элементов в двух первых строках получили произведение , то в третьей строке можно выбрать только , т.к. первый и второй столбцы уже «заняты» ( стоит в первом столбце , а - во втором столбце). Таким образом, получим произведение .

Рассуждая аналогичным образом получим ещё пять слагаемых: .

Теперь выясним, с каким знаком входит каждое из этих произведений в определитель. Во всех произведениях сомножители стоят в порядке возрастания номеров строк. Поэтому нужно найти число инверсий в перестановках вторых индексов. Очевидно, .

Следовательно, со знаком плюс берем произведения , , .

Остальные произведения, т.е. берём со знаком минус.

Таким образом, , что совпадает с определением определителя 3-го порядка, данным ранее.

Определение 2. Квадратную матрицу порядка будем называть верхней треугольной, если все

её элементы, стоящие «под главной диагональю», равны нулю. Другими словами, если при условии, что .

- верхняя треугольная матрица.

Определение 3. Квадратную матрицу порядка будем называть нижней треугольной, если все

её элементы, стоящие «над главной диагональю», равны нулю. Другими словами, если при условии, что .

- нижняя треугольная матрица.

Общее название верхних треугольных и нижних треугольных матриц – треугольные матрицы.

Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов, т.е.

.

Доказательство проведём для верхних треугольных матриц. Для нижних треугольных матриц доказательство проводится аналогично.

Если какой-то элемент матрицы равен нулю, то слагаемое, в котором этот элемент является сомножителем, равно нулю и потому его можно не учитывать. Выберем в первом столбце , т.к. в этом столбце только не равен нулю. Во втором столбце выберем , т.к. первая строка уже «занята», а элементы всех остальных строк во втором столбце равны нулю. Рассуждая таким образом, выберем элементы в первых столбцах и получим произведение . В - м столбце выберем , т.к. первые строк уже «заняты», а элементы всех остальных строк в - м столбце равны нулю, и т.д. В результате получим произведение диагональных элементов . Эти элементы расположены в порядке возрастания номеров строк. Поэтому остаётся найти число инверсий в перестановке , которое, очевидно, равно нулю. Следовательно, это произведение берём со знаком плюс, и теорема доказана.