Теорема 2. Критерий существования обратной матрицы.

Для того чтобы для квадратной матрицы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы существует обратная матрица . Тогда из определения 1 получаем: .

Следовательно, . Из теоремы об определителе произведения матриц следует, что . Таким образом,

. Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу, которую обозначают так: и называют присоединённой (или союзной) к матрице .

. Покажем, что . Очевидно, K . Докажем, что . Найдём элемент, стоящий в - ой строке и - ом столбце матрицы :

для всех . Здесь мы воспользовались равенством (7)§8.

Следовательно, справедливо равенство .

Аналогично предыдущему можно доказать равенство , что предлагается сделать самостоятельно.

Замечание. Из доказанного, в частности, следует, что для любой квадратной матрицы (не только неособенной) справедливо равенство .

Пример. Найдём матрицу, обратную к матрице . Найдём определитель этой матрицы: . Следовательно, матрица неособенная, и для неё существует обратная. Найдём алгебраические дополнения всех её элементов:

. Следовательно, .

Продемонстрируем ещё один способ нахождения обратной матрицы, называемый методом Гаусса. Обоснование этого метода будет дано позже.

Выпишем расширенную матрицу . Действуя только над строками этой матрицы добьёмся того, чтобы слева от черты оказалась единичная матрица. Тогда справа от черты получим обратную матрицу .

.