Простейшие свойства обратных матриц.

1. Если - квадратная неособенная матрица, то справедливо равенство: .

Доказывая необходимость теоремы 2, показали, что , откуда и получаем равенство .

2. Если - квадратная неособенная матрица, то для неё существует обратная матрица и .

Доказательство. Из определения обратной матрицы следует, что . Следовательно, по тому же определению 1 получаем: .

3. Если - квадратные неособенные матрицы одного порядка, то для матрицы существует обратная матрица и

.

Доказательство. Рассмотрим произведение этих матриц:

. Здесь мы воспользовались ассоциативностью умножения матриц и свойством единичной матрицы (свойства 1 и 5).

Аналогично проверяется, что произведение этих матриц в обратном порядке равно единичной матрице, что и доказывает равенство

.

4. Если - квадратная неособенная матрица, то существует матрица, обратная к матрице и .

Доказательство. Из определения обратной матрицы следует, что . Тогда по свойству 4 операции транспонирования получаем: . Следовательно, по определению обратной матрицы .

Теорема Крамера.

Теорема 2 §9 позволяет получить важные в теоретических приложениях формулы для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений.

Определение 1. Систему уравнений вида

(1)

будем называть системой из линейных алгебраических уравнений от неизвестных .

Числа будем называть коэффициентами системы, - свободными членами.

Матрицу будем называть матрицей системы (1), столбец - столбцом свободных членов системы (1), столбец - столбцом неизвестных.

Очевидно, произведение имеет смысл. Подсчитаем его: .

Из определения равенства матриц следует, что система (1) равносильна матричному равенству

(2).

Равенство (2) будем называть матричной записью системы (1). Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то систему (1) будем называть квадратной.

Определение 2. Решением системы (1) будем называть упорядоченный набор чисел , удовлетворяющих равенствам (1), т.е. такой набор, для которого справедливы равенства

.

Этот упорядоченный набор чисел будем записывать в столбец .

Таким образом, - решение системы (1)