Лабораторная работа №2. Анализ остатков от прогнозов

Цель работы: Освоение процедуры проверки гипотез о принадлежности остатков от прогнозов нормальному распределению(Интерактивное обучение -150 минут)

Для правильно построенных (адекватных) моделей остатки от прогнозов должны подчиняться нормальному распределению.

. Однако это предположение не всегда верно. Поэтому необходима проверка гипотезы о принадлежности случайной величины нормальному распределению.

Качественные методы проверки этой гипотезы основаны на сравнении статистической функции распределения с теоретической кривой. Для этой же цели применяются оценки моментов высших порядков:

- коэффициента ассиметрии;

- коэффициента эксцесса,

сравнивается логорифм статистической функции распределения с прямой линией и т. д.

Чтобы получить какую-либо количественную оценку отклонения эмпирического распределения от теоретического ( не обязательно нормального) следует ввести некоторую меру отклонения и затем проверить гипотезу: значимо ли отличается вычисленное значение меры ( для конкретной выборки) от нуля.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х,принимающую значения: х₁ , х₂ , …,х_к .

Пусть проведено n независимых опытов. На основе этих опытов составлен статистический ряд распределения случайной величины Х :

Где P_i^* = n_{i /} n – частота события , n_{i –}число опытов, в которых появилось это событие.

Выдвигаем гипотезу H₀ :случайная величина Х имеет ряд распределений

Отклонение ( P_i^*- P_i) вызвано случайными причинами.

Выбираем меру Rрасхождения между гипотетическим распределением и статистическим

Коэффициенты С_i – веса, учитывающие вклад каждого из отклонений.

При больших вероятностях Р_i отклонения ( P_i^*- P_i) также будут большими, при малых – малыми. Чтобы уравнять вклады отклонений в сумму, следует взять веса обратно пропорциональными вероятности.

К. Пирсон показал, что, если положить C_i = n /p_i то при большом n закон распределения величины Rобладает следующими свойствами:

1. он не зависит от закона распределения случайной величины Х;

2. он мало зависит от n;

3. он при увеличении n приближается к распределению c² , т.е.

(1)

Внесем n под знак суммы. Учитывая, что ( n_i число значений в i – м разряде),

Получим (2)

c² – распределение зависит от числа степеней свободы – r.

R = k – l , l – число связей.

Если мы сравниваем наш статистический ряд с гипотетическим распределением, параметры которого известны, то , l = 1, так как наложено одно ограничение

.

Если параметры распределения оцениваются по выборке, то l = 1+ q , где q - число оцениваемых параметров.

Вычислив R – статистику и выбрав уровень значимости a , процедуру проверки гипотезы можно применить к проверке соответствия закона распределения некоторому гипотетическому распределению.

Для непрерывных случайных величин Х критерий согласия c² можно применить, группитуя полученный статистический ряд и заменяя непрерывную случайную величину Х дискретной со значениями , , где - середина i – го разряда.

		. . .		. . .
P1*	P2*	. . .	Pi*	. . .	Pk*

Р_i^* - частота попадания в I – ый разряд. .

Задание на работу

1. Сгенерировать выборку “ остатков от прогнозов” , считая , что они подчиняются нормальному распределению. ( Объем выборки N и СКО -s заданы в таблице, математическое ожидание m равно нулю).

2. Получить МНК- оценки математического ожидания и дисперсии .

3. Проверить гипотезу о равенстве полученных оценок параметров распределения заданным значениям.

4. При заданных уровнях значимости a₁= 0,1 и a₂ = 0,05 проверить гипотезу о том , что сгенерированные данные распределены по нормальному закону с заданными параметрами.

Варианты работы.

Методика выполнения работы

Пусть остатки от прогнозов подчиняются нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением s. Генерация массивов в системе MATHCAD производится с помощью оператора Y:=rnorm(N,m,s). Данные, полученные в процессе генерации, упорядочены по возрастанию и разбиты на классы(разряды).

Результаты сведены в таблицу:

Пользуясь критерием согласия c² определить, не противоречит ли опытным данным гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с теми же параметрами ( m_{x =} 0.168 ; s_x = 1.448) .

Составим таблицу вероятностей попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону ( 0,168 ; 1,448 ) в каждый из разрядов.

Вероятности Р_iвычисляем следующим образом:

Вычисляем:

Так как нормальное распределение симметрично, то

.

Находим по таблицам нормального распределения

( В таблице Р_i = 0,0126 . Расхождение связано с погрешностями округления. )

Таким образом, np_i = 500*0,0126 = 6,3.

Аналогичным образом проводим вычисления для всех разрядов.

Так как по выборке оценивалось 2 параметра : , то r = 8 – 1– 2 = 5

Вычисляем статистику

Критическое значение

Lt; 9.236

Гипотеза о нормальности принимается !