Общий вид процесса авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего. Формы представления модели АРПСС

Целесообразно рассматривать обобщенную форму модели АРПСС, полученную добавлением постоянного члена . Запишем в математической формулировке модель авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего

(47)

где – обобщенный оператор авторегрессии порядка p + d; это

нестационарный оператор, у которого d корней уравнения равны единице;

– значение временного ряда в момент t;

– оператор авторегрессии порядка р;

предполагается, что этот оператор стационарен, т.е. корни лежат вне единичного круга;

d – порядок разности;

– оператор скользящего среднего поряд-

у q; предполагается, что он обратим, то есть что корни лежат вне единичного круга;

- случайная величина, подчиняющаяся нормальному распределению

с нулевым средним и дисперсией .

Когда d = 0 , модель описывает стационарный процесс. Требования стационарности и обратимости накладываются независимо, и в общем случае операторы и имеют разные порядки.

Когда постоянный член опущен, модель может описывать ряды со сто­хастическими трендами, например, со случайным уровнем или наклоном ряда. В общем же случае мы можем включить в модель детерминированную функцию времени . В частности, автоматический учет детерминированного полиномиального тренда степени d обеспечивается условием, что . Например, когда d = 1 , мы можем использовать модель с для оценок возможного детерминированного линейного тренда в присутствии нестационарного шума. Поскольку условие эквивалентно условию

(48)

не равно нулю, другой способ описания этой более общей модели (3.19) осуществляется в виде стационарного обратимого процесса АРСС, в котором

и (3.21)

то есть . В тех случаях, когда нет физических причин для существования детерминированной компоненты, среднее значение w может
предполагаться нулевым, если только это не противоречит данным. Ниже, в
случаях, когда d > 0, мы часто будем полагать, что , или, что эквивалентно, , если только сами данные или смысл задачи не будут указывать на необходимость учета ненулевого среднего.

Существует три формы представления общей модели АРПСС. Каждая из них имеет свои достоинства и недостатки. Текущее значение , процесса можно выразить:

· через предыдущие значения z и текущее и предшествующие значения а; это достигается прямым использованием разностного уравнения;

· только через текущий и предшествующие импульсы ;

· через взвешенную сумму предшествующих значений процесса и

текущий импульс .

Здесь рассматриваются стационарно-разностные модели, у которых – стационарный процесс и d > 0. Для таких моделей можно без потери общности и опустить , или, что тоже самое, заменить на . Эти результаты применимы и к стационарным моделям, у которых d = 0 при условии, что , интерпретируется как отклонение от среднего .

Прямое использование разностного уравнения позволяет нам выразить те­уще значение процесса через предшествующие значения z и текущее или предшествующие значения а, Так, если

(49)

общая модель может быть записана в виде

(50)

Вторая форма представления модели использует случайные импульсы.
При этом линейная модель может быть представлена как выход линейного фильтра

(51)

входом которого является «белый шум» или последовательность некоррелированных импульсов . Иногда полезно представлять модель АРПСС в такой форме. В частности, веса используются для вычисления доверительных интервалов прогнозов.

Веса процесса АРПСС можно получить прямо из представления модели в виде разностного уравнения. Общее выражение для весов :

(52)

Следовательно, веса можно получить, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях В в уравнении

(53)

Третья форма описания процессов АРПСС использует обращенное представление модели. То есть модель, выражающую через и предшествую­щие z.

Модель в обращенной форме имеет вид: , где . Здесь равно бесконечной взвешенной сумме предыдущих значений z плюс случайный импульс, т.е. .

Веса выводятся из разностного уравнения и прямой модели, описанной выше, с помощью таких соотношений:

(54)

Или в развернутом виде:

(55)