Условия стационарности и обратимости линейного процесса

Под стационарностью понимается неизменность статистических характеристик процесса во времени.

Условие стационарности рядов обеспечивается конечным значением дисперсии процесса. При этом автоковариации и автокорреляции должны удовлетворять ряду условий. Для линейного процесса эти условия могут быть объединены в одно, а именно, что ряд – производящая функция для весов – должен сходиться при , т.е. для B, лежащих внутри или на единичной окружности.

Для коэффициентов авторегрессии условие стационарности трансформируется в следующее требование , корни характеристического уравнения . То есть корни уравнения лежат вне или на единичном круге.

Исходя из условия стационарности, можно получить граничные условия для коэффициентов авторегрессии. Так как некоторые корни характеристического уравнения с обобщенными коэффициентами авторегрессии лежат на границе устойчивости, то есть, равны единице, то замена коэффициентов авторегрессии на коэффициенты обобщенной авторегрессии приводит к увеличению порядка используемой модели АРПСС.

Так для первого порядка авторегрессии границы стационарности

(41)

Для уравнения второго порядка:

(42)

Для третьего порядка:

(43)

Выше было показано, что веса линейного процесса, если он стационарен, должны удовлетворять условию сходимости. Рассмотрим теперь ограничения, связанные с обратимостью процесса АРПСС. Условие обратимости предполагает возможность прогнозирования назад временного ряда. Оно не зависит от условий стационарности и применимо также к нестационарным линейным моделям. При прогнозировании назад значения временного ряда берут с весами .

Если веса образуют сходящийся ряд, то такой ряд называется обратимым. Это условие будет выполняться, если корни уравнения находятся внутри или на единичной окружности, то есть , при .

Таким образом, при переходе к оператору скользящего среднего (СС) налагается следующее ограничение на веса СС: корни уравнения оператора скользящего среднего должны быть вне или на единичной окружности ( ).

Сходящиеся ряды возможны и в случае, когда . При этом выражается только через , то есть через настоящее и будущее значение процесса. Таким образом, требование обратимости необходимо, если мы заинтересованы в разумной связи текущих событий с событиями в прошлом.

Подводя итоги, отметим, что линейный процесс стационарен, если сходится внутри или на единичной окружности, и обратим, если сходится той же области, и если сходится вне или на единичной окружности, и обратим, если сходится в той же области.