Оценивание состояния недоопределенных динамических систем

( групповые эталоны)(Интерактивное обучение -150 минут)

Цель работы: освоение методов конструирования вычислительных алгоритмов для оценивания состояния систем с неполной матрицей наблюдений

Групповые эталоны создаются для повышения точности и надежности хранения единиц физических величин. Примером такого эталона является эталон времени и частоты. В процессе функционирования эталонов проводятся регулярные измерения (сличения) единиц физических величин, воспроизводимых каждым из элементов, входящих в состав эталона.

При этом реализована схема “опорный с каждым”, при которой один из элементов) выбирается в качестве опорного (пусть, для определенности, это будет первый элемент ). В определенный момент времени производятся измерения разностей :

z_i = y_оп – у_i, где

у_i - значение величины, воспроизводимой i-тым элементом, (i= ), n- число элементов группового эталона.

Таким образом, в момент времени t получается n-1 результатов измерения:

z₁ = y₁ – у₂ ; z₂ = y₁ – у₃ ;…; z_n-1 = y₁ – у_n

Обозначив набор значений у_i (i= ), как вектор У, а набор результатов измерений z_y , как вектор Z, получим матричное уравнение

Z(t)=H*Y(t) (1)

Матрица измерений Н для данной схемы имеет вид:

Н=

Размерность матрицы (n-1)*n

Решение системы, имеющее минимальную норму имеет общий вид

Y=H⁺ *Z, (2)

где H⁺ - псевдообратная матрица.

В дальнейшем, индекс t при записи уравнений, опускается.

Нам, в принципе, достаточно найти оценку значения опорного элемента – , поскольку оценки всех остальных элементов найдутся из результатов измерений

z_i = y₁ – у_i , при подстановке вместо значения у_1, его оценки .

При данной схеме “сличений” , а стало быть и матрице измерений Н, оценка значения состояния у, найдется как среднее арифметическое результатов измерений

₁= _i(3)

Формула справедлива для каждого момента времени t.

Найденная оценка и оценки всех остальных состояний называются оценками метода наименьших квадратов (МНК-оценками).

Оценками состояния недоопределенных систем можно улучшить, если для их вычисления использовать не только результаты измерений z_i, выполненные в данный момент времени, но и прогнозы вектора состояния

У_t-1(1), вычисленные на предыдущем такте обработки данных. Тогда оценка состояния опорного элемента найдется как

₁(t) = _i(1)(4)

В формулу (1) добавлено одно фиктивное измерение z₁ = y₁ – у₁ =0

Очевидно, что оценка (4), которая соответствует алгоритму фильтрации, будет более точной, чем оценка (3).

Задание на работу:

1. Сформулируйте “ряды вычислений”, вычитая из ряда y₁(t), ряды y₂(t) и y₃(t), построенные в работе 1.

2. Используя модели AP, полученные в работе 2, найдите оценку состояния опорного элемента по формулам (3) и (4). В формуле (4) прогноз вычисляется как _i(1) = * _i(t-1)

3. Найдите сумму квадратов отклонений оценок ₁ , от их истинных значений, то есть значений ряда у₁, сгенерированных в лабораторной работе 1.

_i)²

N=100

Оценки ₁ , соответствующей формулам (3) и (4).

4. Постройте графики y₁(t) , y₂(t), y₃(t), ₁(t), ₂(t), ₃(t).

5. Найдите среднее значение отклонений

y_i(t) - _i(t) i=1,2,3

и оценку дисперсии этих отклонений

=

Пример MATHCAD – программы для двух временных рядов приведен ниже. Обобщение данной программы для n=3 очевидно и не требует дополнительных объяснений.