Численное дифференцирование

При решении многих практических задач возникает необходимость получить значения производных различных порядков функции f, заданной в виде таблицы или сложного аналитического выражения. В этих случаях применить непосредственно методы дифференцированного исчисления либо невозможно, либо затруднительно. Тогда используют приближенные методы численного дифференцирования.

Простейшие выражения для производных получаются в результате дифференцирования интерполяционных форм.

Итак, рассмотрим следующую задачу. На сетке в узлах заданы значения функции f, непрерывно дифференцируемой n+1+m раз. Требуется вычислить производную и оценить погрешность.

Один из возможных способов решения этой задачи заключается в следующем. Построим для функции f по узлам интерполяционный многочлен с остаточным членом , так что

f (x)= . (5.1)

Продифференцируем правую и левую части соотношения (5.1) m раз и положим :

. (5.2)

Для достаточно гладких функций, т.е. для функций с ограниченными производными, необходимым количеством узлов и заданной точностью величиной, величина мала и является хорошим приближенным для , так что можно положить

. (5.3)

В практических расчетах численное дифференцирование оказывается весьма чувствительным к ошибкам в исходной информации, отбрасыванию членов ряда к другим подобным операциям. Кроме того, высокая точность интерполирования [малость ] совсем не гарантирует высокой точности интерполяционной формулы для производной [малости ]. Поэтому численное дифференцирование следует применять осторожно и, как правило, для небольших m.

Учитывая сказанное, а так же то, что вычисление высших производных может быть сведено к последовательному вычислению низших, остановимся более подробно на получении расчетных формул для и в узлах равномерной сетки. Для получения производных в узловых точках целесообразно использовать интерполяционный многочлен Стирлинга и его остаточный член. Так дифференцируя многочлен Стирлинга и его остаточный член по x и полагая ( ), получим следующие выражения для производной:

(k=1) (5.4)

(k=2) (5.5)

Дифференцируя многочлен Стирлинга два раза по x и вычисляя значение второй производной в точке имеем

(k=1) (5.6)

(k=2) (5.7)

Для вычисления производной точно в середине между узлами применяют многочлен Бесселя. В этом случае соответствующие формулы для производной имеют вид

(k=1) (5.8)

(k=2) (5.9)

Практический интерес представляют также так называемые формулы одностороннего дифференцирования, позволяющие вычислить по узлам (i=0,1,…,k,… или i=0,- 1,…,- k,…). Построение этих формул удобно провести с помощью первого и второго интерполяционных многочленов Ньютона.

Дифференцируя первый многочлен Ньютона по x и вычисляя значение производной в точке (t = 0) для k=1 и k=2 получим соответственно следующие формулы:

(5.10)

(5.11)

Аналогично, дифференцируя второй многочлен Ньютона, для k=-1 и k= - 2 соответственно имеем

(5.12)

(5.13)

Приведем снова все формулы второго порядка, выразив входящие в них конечные разности непосредственно через значение функции . Из соотношений (5.4), (5.6) и (5.8) имеем

(5.14)

(5.15)

(5.16)

Соотношения (5.11) и (5.13) соответственно дают

(5.17)

(5.18)

Из формул (5.17), (5.18) видно, что с уменьшением шага сетки уменьшается и погрешность метода. Однако если значения функции заданы приближенно, например, с одинаковой абсолютной погрешностью , то при использовании формул численного дифференцирования суммарная погрешность будет содержать дополнительное слагаемое, обратно пропорциональное (m – порядок производной). Поэтому уменьшение h разумно лишь в определенных пределах.

Иллюстрируя сказанное, рассмотрим правую часть формулы (5.16). Суммарная погрешность ее составляет

. (5.19)

Приравнивая нулю, получаем точку экстремума функции :

. (5.20)

Так как , то - точка минимума , причем:

. (5.21)

Аналогично, из формулы (5.15) для оптимального шага получаем выражение

(5.22)

А из формулы (5.17) и (5.18) – выражение

(5.23)

Таким образом, при вычислении производных предварительно следует определить оптимальный шаг исходной таблицы значений .

Пример 5.1. Вычислить и для функции , заданной в виде таблицы (табл. 5.1), содержащей значение со всеми верными в широком смысле знаками. Оценить погрешность результата.

Таблица 5.1. Данные к примеру 5.1

Для вычисления требуемых производных применим соответственно формулы (5.18) и (5.15). Тогда, используя равенства (5.21) и (5.22), а также исходные данные, получим следующие значения для оптимального шага:

при вычислении ;

при вычислении .

Так как табличные данные не позволяют выбрать в качестве шага 0,22, то за Принимаем ближайшее возможное число 0,2. Следовательно,

,

причем суммарная погрешность не превышает

;

и

,

причем суммарная погрешность не превышает

.

В некоторых случаях для определения производной задается только таблица значений функции. Тогда оценить погрешность невозможно. Приближенные значения производной вычисляются непосредственно по одной из формул (5.17) – (5.23) без учета погрешности.

Пример 5.2. Вычислить , для функции f(x), заданной в виде таблицы (табл. 5).

Таблица 5. Данные к примеру 5.2

На основании формул (5.17) и (5.19) получаем: