Экстраполяционный метод Адамса

При решении дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необходимо производить много вычислений для нахождения каждого . В том случае, когда правая часть уравнения сложное аналитическое выражение, решение такого уравнения методом Рунге-Кутта вызывает большие трудности. Поэтому на практике применяется метод Адамса, который не требует многократного подсчета правой части уравнения.

Пусть дано дифференциальное уравнение

, (5.89)

с начальным условием

, . (5.90)

Требуемся найти решение этого уравнения на отрезке [a.b].

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками
(i = 1, 2,..., n), a – проинтегрируем дифференциальное уравнение). Выберем участок и проинтегрируем дифференциальное уравнение (5.89); тогда получим

,

или

. (5.91)

Для нахождения производной воспользуемся второй интерполяцион­ной формулой Ньютона (ограничиваясь при этом разностями третьего по­рядка):

. (5.92)

или

. (5.93)

Подставляя выражение для из формулы (5.93) в соотношение (5.91) и учитывая, что , имеем

(5.94)

Обозначим в дальнейшем (i = 0,1,2,…,n).

Тогда для любой разности имеем и

. (5.95)

По формуле получаем решение уравнения. Формула (5.95) носит название экстраполяционной формулы Адамса.

Для начала процесса нужны четыре начальных значения - так называемый начальный отрезок, который может быть найден, исходя из начального условия (5.90) с использованием одного из известных методов. Обычно начальный отрезок решения находится методом Рунге-Кутта.

Зная можно определить

; ;

; . (5.96)

Далее составляется таблица разностей величины q (табл. 7).

Таблица 7. Таблица разностей величины q

I
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)
			-
			-					-
			-				-	-
						-	-	-
			-	-	-	-	-	-
		-	-	-	-	-	-	-
		-	-	-	-	-	-	-

Метод Адамса заключается в продолжении диагональной таблицы разностей с помощью формулы (5.95). Используя числа , которые располагаются в таблице по диагонали, пологая в формуле (5.95)
n = 3 (известное последнее значение у есть ), получаем:

.

Полученное значение вносят и таблицу и находят . Затем используя значения и находят т.е. получается новая диагональ. По этим данным вычисляют

.

Таким образом, продолжают таблицу решения, вычисляя правую часть дифференциального уравнения (5.89) на каждом этапе только один раз.

Для грубой оценки погрешности применяют принцип Рунге, который состоит в следующем:

1. Находят решение дифференциального уравнения при шаге h.

2. Значение шага удваивают и находят решение при шаге Н = 2h.

3. Вычисляют погрешность метода по формуле

, (5.97)

где - значение приближенного вычисления при двойном шаге H=2h; - значение приближенного вычисления при шаге h.

Метод Адамса применяется также и для решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-гo порядка.

Пусть задана система двух уравнений

(5.98)

Тогда экстраполяционные формулы Адамса для этой системы имеют вид

(5.99)

где и ,

.