Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.

Рассмотрим формулы численного интегрирования, имеющие более сложную структуру. Описанные выше методы численного интегрирования являлись интерполяционными, включая в определенном смысле и формулы прямоугольников. Это означает, что подынтегральная функция аппроксимировалась интерполяционным многочленом. Если интегрируемая функция достаточно гладкая, а отрезок интегрирования конечен, то можно получить достаточно хорошие результаты. С другой стороны, трудно рассчитывать на хорошую аппроксимацию интегрируемой функции многочленом, если сама функция или ее производные невысоких порядков имеют особенности. В таких случаях подынтегральную функцию целесообразно представить в виде произведения двух сомножителей: , которые должны обладать следующими тремя свойствами. Во-первых, весовой множитель р(х) должен отражать все особенности интегрируемой функции. Во-вторых, моменты

(k = 0,1,…),

где [а, b] - отрезок интегрирования, должны вычисляться аналитически.

В-третьих, погрешность аппроксимации функции f(x) многочленом должна быть мала.

Перейдем теперь к построению самих квадратурных формул. Будем их строить в том же виде, что и раньше:

. (5.41)

В общем случае, как уже отмечалось, формула (5.41) имеет 2n свободных параметров - это узлы квадратуры и весовые множители . Число n будем предполагать фиксированным. Выбор свободных параметров определяется теми требованиями, которые предъявляются к квадратурной формуле условиями практической задачи. Такими требованиями могут быть, например, максимально возможная точность, минимальная вычислительная погрешность, фиксирование некоторых (а возможно, и всех) весовых множителей или узлов квадратуры.

Начнем с относительно простого случая, когда узлы определены заранее, и можно варьировать лишь выбором весовых множителей . Идея интерполяционных квадратур заключается в следующем. Аппроксимируем функцию f интерполяционным многочленом в форме Лагранжа степени n-1 по n различным узлам :

.

Проинтегрируем правую и левую части этого равенства на отрезке [а,b], предварительно умножив их на весовую функцию р(х):

. (5.42)

Преобразуем первое слагаемое правой части этого соотношения.

Для этого подставим вместо его явное выражение и поменяем местами операции интегрирования и суммирования:

. (5.43)

Здесь . Первый из множителей, входящих под знак суммы, является числовым коэффициентом, пропорциональным длине отрезка интегрировании и зависящим только от расположения узлов и свойств функции р(х) (по не функции f).

Предполагая теперь, что второе слагаемое правой части соотношения (5.42) мало, получаем приближенную квадратурную формулу (5.41) с заданными узлами и коэффициентами , определяемыми следующим образом:

(i = 1,2,…,n). (5.44)

Построенная таким образом квадратурная формула называется интерполяционной.

Перейдем к оценке погрешности формулы (5.41) с коэффициентами (5.44). Для этого проинтегрируем остаточный член интерполяционной формулы:

.

Подставляя приведенное выражение во второе слагаемое равенства (5.42), получаем

; .

Если функция f имеет на отрезке итерирования непрерывную производную порядка n, а произведение сохраняет на том же отрезке свой знак, то дли остаточного члена можно получить следующее выражение:

; . (5.45)

и, следовательно, оценка погрешности квадратуры принимает вид

, (5.46)

где Полученная оценка при указанных выше условиях является не улучшаемой.

Если же произведение не сохраняет знак па отрезке интегрирования, но в этом случае получается лишь грубая оценка погрешности:

,

которая может оказаться далеко не оптимальной. Полому в подобных случаях пользуются другими соображениями при построении явного выражения для остаточного члена и погрешности.

Пример 5.6. Построить квадратурную формулу (5.41) дли отрезка [-1,1] с узлами и весовой функцией .

По существу, необходимо определить коэффициенты A_i, (i = 1,2,3) формулы (5.41). Используя выражение (5.44) для искомых коэффициентов, получаем

,

,

.

Таким образом, искомая формула имеет вид

.

В практических расчетах особый интерес представляет случай, когда узлы квадратурной формулы задаются в виде равноотстоящих точек отрезка [а, b]: (i = 1,2,…,n), а весовая функция р(х) тождественно равна единице. При таких предположениях формулу (5.41) можно преобразовать к виду

. (5.47)

При различных n получаем квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Коэффициенты , называемые коэффициентами Котеса, определяются из соотношения (5.44):

, (5.48)

где n >1; i = 1,2,…,n; 0!=1.

Эти коэффициенты обладают следующими полезными при их вычислении свойствами.

1. Симметричные коэффициенты (первый и n-й, второй и (n-1)-й, ...) равны между собой:

. (5.49)

2. Сумма всех коэффициентов равна единице:

.

В табл. 6 приведены значения коэффициентов Котеса для
n = 2, 3, 4, 5, 6.

Таблица 6. Значения коэффициентов Котеса для n = 2, 3, 4, 5, 6

Остановимся на частном случае квадратурной формулы (5.47), получающемся при n = 3. Применяя формулу (5.48), имеем

.

Далее, используя равенства (5.49), найдем

, .

Таким образом, искомая квадратурная формула, называемая формулой Симпсона, имеет вид

. (5.50)

Формула (5.50) является точной для всех многочленов нулевой, первой, и второй степеней. Формула Симпсона обладает также так называемым свойством повышенной точности, которое заключается в том, что она является точной не только для многочленов второй степени, но и для многочленов третьей степени.

Оценка погрешности имеет вид

, (5.51)

где .

Пример 5.7. Вычислить с помощью формулы Симпсона интеграл . Оценить погрешность полученного приближения.

Вычислив необходимые значения подынтегральной функции в точках , подставим их в формулу (5.50):

.

Учитывая, что , и используя формулу (5.51), для метода получим погрешность .

Найдем вычислительную погрешность

.

Складывая погрешности и округляя результат, окончательно имеем

.