Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений

Метод последовательных приближений (метод Пикара)

Пусть дано уравнение

, (5.52)

правая часть, которого в прямоугольнике непрерывна и имеет непрерывную частную производную по у. Требуется найти решение уравнения (5.52), удовлетворяющее начальному условию

. (5.53)

Интегрируя обе части уравнения от до получим

или

. (5.54)

Уравнение (5.52) заменяется интегральным уравнением (5.54), в котором неизвестная функция у находится под знаком интеграла. Интегральное уравнение (5.54) удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.52) и начальному условию (5.53). Действительно,

.

Заменяя в равенстве (5.54) функцию у значением , получим первое приближение

.

Затем в уравнении (5.54) заменив у найденным значением , получаем второе приближение:

.

Продолжая процесс далее, последовательно находим

,

…

.

Таким образом, составляем последовательность функций

.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.1. Пусть в окрестности точки функция f(х,у) непрерывна и имеет ограниченную частную производную . Тогда в некотором интервале, содержащем точку , последовательность сходится к функции у(х), служащей решением дифференциального уравнения у = f(x,y) и удовлетворяющей условию

у(х₀) = у₀.

Оценка погрешности метода Пикара определяется, но формуле

,

где при ; - постоянная Липшица для области ; - величина определения окрестности ; a и b – границы области R.

Пример 1. Найти решение задачи Коши методом Пикара:

Найдём несколько приближений по методу Пикара. Пусть , тогда:

Как легко видеть

,

то есть при получим разложение в ряд функции или , что является аналитическим решением задачи.

Метод последовательного дифференцирования. Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка:

(5.55)

с начальными условиями

. (5.56)

Представим решение уравнения (5.55) в окрестностях точки х₀ в виде ряда Тейлора:

(5.57)

где , а h – достаточно малая величина.

Для нахождения коэффициентов ряда (5.57) уравнение (5.55) дифференцируют по х нужное число раз, используя условия (5.56):

Если , то получается ряд Тейлора по степеням х:

(5.58)

Этот метод редко применяется на практике, поскольку при достаточно большом n он слишком громоздок, а кроме того, при достаточном удалении х от х0 остаточный член может не стремиться к нулю.

Пример 2. Найти решение задачи Коши методом последовательного дифференцирования:

Решение

Тогда, подставив полученные значения в (5.58), получим ответ:

.

Метод неопределенных коэффициентов. Пусть дано дифференциальное уравнение

, (5.59)

с начальным условием .

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что решение уравнения (5.59) отыскивают в виде ряда с неизвестными коэффициентами

(5.60)

которые находят с помощью подстановки ряда (5.60) в уравнение (5.59), зачем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х и используют начальное условие. Найденные значения коэффициентов подставляют в ряд (5.59).

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y' = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

у = х + c₂x² + c₃x³ + c₄x⁴ + c₅x⁵ + ….

Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y" — выражение

2c₂ + 3·2с₃х + 4·3с₄х² + 5·4с₅х³ + …,

затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получим:

2c₂ + 3·2c₃x + (1 + 4·3c₄) x² + (c₂ + 5·4c₅) x³ + … = 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c₂ = 0; 3·2с₃ = 0; 1 + 4·3c₄ = 0; c₂ + 5·4c₅ = 0;...

Решая последовательно эти уравнения,

т. е.

Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя функцию у = F(x), найти такие значения что (i = 1,2,...,n) и .

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции у = F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина называется шагом интегрирования. Рассмотрим некоторые из численных методов.

Метод Эйлера является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

, (5.61)

с начальным условием

. (5.62)

Требуется найти решение уравнения (5.61) на отрезке [а, b].

Разобьем отрезок [а,b] на n равных частей и получим последова­тельность , где (i = 1, 2,..., n), a - шаг интегрирования.

Выберем k-й участок и проинтегрируем уравнение (5.61):

. (5.63)

Тогда формула (5.63) примет вид

(5.64)

Обозначив, т.е. , получим

(5.65)

Продолжая этот процесс и каждый раз принимая подынтегральную функцию на соответствующем участке постоянной и равной ее значению в начале участка, получим таблицу решений дифференциального уравнения на заданном отрезке [а, b].

Если функция f(x,y) в некотором прямоугольнике

удовлетворяет условию

(N = const) (5.66)

и, кроме того.

(М = const) (5.67)

то имеет место следующая оценка погрешности:

, (5.68)

где - значение точного решения уравнения (5.61) при ,а - приближенное значение, полученное на n-м шаге.

Формула (5.68) имеет в основном теоретическое применение. На практике, как правило, применяют "двойной просчет". Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом . Погрешность более точного значения оценивается формулой

(5.69)

Пример:

Решение:

Разобьём отрезок на n частей (n=4): , i=1,…,n-1

h=0,25

Далее по формуле (5.56) получим текущие значения y_i:

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков. Однако в последнем случае дифференциальные уравнения должны быть приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

(5.70)

с начальными условиями

, (5.71)

Приближенные значения и находятся по формулам

, (5.72)

где , (i = 0,1,2,…). (5.73)

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности. Он имеет много общего с методом Эйлера.

Пусть на отрезке [а, b] требуется найти численное решение уравнения

, (5.74)

с начальным условием

.(5.75)

Разобьем отрезок [а, b] на n равных частей точками
(i = 1,2,..., n, a - шаг интегрирования). В методе Рунге-Кутта, так же, как и в методе Эйлера, последовательные значения у, искомой функции у определяются по формуле

. (5.76)

Если разложить функцию у в ряд Тейлора и ограничиться членами до включительно, то приращение функции можно представить в виде

, (5.77)

где производные , , находят последовательным дифференцированием из уравнения (5.74).

Вместо непосредственных вычислений по формуле (5.26) методом Рунге-Кутта определяют четыре числа:

(5.78)

Можно доказать, что если числам придать соответственно веса 1/6; 1/3; 1/3; 1/6, то средневзвешенное этих чисел, т.е.

(5.79)

с точностью до четвертых степеней равно значению , вычисленному по формуле (5.77):

. (5.80)

Таким образом, для каждой пары текущих значений и по формулам (5.27) определяют значения

(5.81)

Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности на всем отрезке [а,b]. Оценка точности этого метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью "двойного просчета" по формуле

, (5.82)

где - значение точного решения уравнения (5.74) в точке а и - приближенные значения, полученные с шагом h/2 и h.

Если - заданная точность решения, то число n (число делений) для определения шага интегрирования выбирается таким образом, чтобы

. (5.83)

Однако шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой.

Для оценки правильности выбора шага h используют равенство

, (5.84)

где q должно быть равно нескольким сотым, в противном случае шаг h уменьшают.

Метод Рунге-Кутта может быть применен и к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система дифференциальных уравнений первого порядка

(5.85)

с начальными условиями

, , . (5.86)

В этом случае параллельно определяются числа и :

(5.87)

где ;

;

;

;

;

;

;

.

Тогда получим решение системы

, . (5.88)