Дифференцирование неявной функции

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то называется неявной функцией . Нахождение производной функции, заданной неявно, заключается в том, что обе части уравнения дифференцируются по . С учетом того, что есть функция , и из полученного уравнения определяется .

Пример. Найти производную от функции, заданной неявно .

Решение. Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно . Продифференцировав по обе части данного уравнения, получим:

, .

Пример. Найти , если .

Решение. При дифференцировании последнего слагаемого надо применить формулу для дифференцирования произведения и тогда

.

Поэтому получаем

.

Сокращаем на 3, раскрываем скобки, переносим члены, не содержащие , в правую часть равенства и получаем

,

отсюда

.

Понятие производной удобно применять для аналитического исследования свойств функции и построения ее графика.

Областью определения функции называют множество значений аргумента , при которых функция определена.

Функция называется четной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно оси . Функция называется нечетной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно начала координат точки . Если функция не является ни четной, ни нечетной, то эта функция общего вида. Функция называется периодической с периодом , если выполняется условие .

Функция называется возрастающей на не­котором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Функция называется убывающей на не­котором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.