Производная сложной функции. Если , а является функцией независимой переменной : , то называется сложной функцией переменной

Если , а является функцией независимой переменной : , то называется сложной функцией переменной . Переменная при этом называется промежуточной. Производная по функции имеет вид . Аналогичное правило имеет место и в случае, когда сложная функция задается цепочкой, содержащей три и более звена. Например, если , то . Практическую реализацию этого правила покажем на примерах.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем сначала тангенс, учитывая, что роль промежуточного аргумента выполняет . Получим . Теперь мысленно зачеркнем значок “ ” и видим перед собой выражение . Дифференцируем корень: и мысленно закрываем значок корня. Остается . Дифференцируем логарифм (промежуточным аргументом является ): . После вычеркивания значка “ ” появляется , что при дифференцировании даст . Теперь запишется в виде произведения всех промежуточных результатов дифференцирования: