Признаки возрастания и убывания функции

Следующая теорема выражает важный для практических це­лей признак строгого возрастания и строгого убывания функции и указывает правило для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает (интервалов монотонности функции).

Теорема.

(достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале) Если во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция на этом интервале воз­растает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция на этом интервале убывает.

Правило. Для определения интервалов строгого возрастания и строгого убывания функции следует решить неравенства:

и .

Пример. Найти интервалы монотонности функции

.

Решение. Областью определения данной функции является вся ось . Находим производную . Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство или ; чтобы найти интервалы убывания функции, решим неравенство . Корни квадратного трёхчлена равны 1 и 3, поэтому распределение знаков квадратного трехчлена имеет вид

+ – +

1 3

Следовательно, на интервалах и функция возрастает, а на интервале функция убывает.