Экстремум функции
Если для всех значений из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то называют точкой локального максимума функции , а – локальным максимумом функции. Если для всех значений из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то называют точкой локального минимума функции , а – локальным минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называют ее экстремумами.
Необходимый и достаточный признаки экстремума функции дают следующие две теоремы
ТЕОРЕМА 1 | (необходимый признак экстремума) Если точка является точкой экстремума, то в этой точке производная равна нулю или не существует. |
Эта теорема имеет простую геометрическую интерпретацию.
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
На рис. 4 касательная к графику функции в точке – точка экстремума – параллельна оси , т.е. угловой коэффициент (а это и есть производная) равен нулю.
На рис. 5 касательная в точке экстремума перпендикулярна оси , на рис. 6 касательная в точке с абсциссой не существует. В обоих случаях производная в точке не существует.
Точки, в которых первая производная равна нулю, а также, в которых она не существует, но функция сохраняет непрерывность, называются критическими.
Следует уяснить, что указанный признак экстремума является только необходимым, но отнюдь не достаточным: производная функции может быть равна нулю или не существовать не только в тех точках, в которых функция достигает экстремума. Например, производная функции равна нулю в любой точке, но экстремума у этой функции нет (рис. 7). Поэтому, определив критические точки, в которых функция может достигать экстремума, надо каждую из точек в отдельности исследовать на основании достаточных условий существования экстремума.
0
Рис. 7
ТЕОРЕМА 2 | (достаточный признак экстремума) Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то критическая точка является точкой экстремума. Это точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если производная меняет знак с минуса на плюс. |
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение.
1. Область определения .
2. Находим критические точки, для чего найдем производную и приравняем ее к нулю . Отсюда , , . Точек, где не существует, нет.
3. Исследуем критические точки по достаточному признаку экстремума. Это удобно делать в таблице, куда заносятся критические точки и точки разрыва функции (в данном примере точек разрыва нет).
- | - | ||||||
нет экстремума | нет экстремума |
Для нахождения знака производной достаточно подставить в нее любое значение из рассматриваемого интервала. Так, исследуя интервал , можно взять, например, точку и подставить это значение в производную: . Исследовав, указанным образом знаки производной в интервалах , замечаем, что производная меняет знак при переходе через точку 0 (с “+” на “-”). Значит, – точка максимума. Значение функции в этой точке .
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 609;