Точки перегиба

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 б).

Рис. 8 а Рис. 8 б

ТЕОРЕМА

(достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции) Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале; если же , то на интервале график функции – вогнутый.

Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой, называется точкой перегиба.

Точки кривой, в которых вторая производная или не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода.

В критической точке второго рода перегиб будет только в том случае, когда при переходе через эту точку меняет знак.

Правило. Для определения точек перегиба кривой надо определить все критические точки второго рода и рассмотреть знаки в каждых двух соседних интервалах, на которые эти точки делят область определения функции. В случае, если знаки в двух соседних интервалах различны, критическая точка второго рода является точкой перегиба. Если же в двух соседних интервалах имеет один и тот же знак, то в рассматриваемой критической точке второго рода перегиба нет. В точке перегиба кривая пересекает касательную.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. Область определения функции – интервал .

Найдем первую и вторую производные функции

,

.

Так как при любом значении , то кривая вогнута на всем интервале . Точек перегиба нет.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение. Область определения функции – интервал .

Найдем первую и вторую производные функции

, .

Решаем уравнение и находим, что . Это единственная критическая точка. Она делит область определения функции на два интервала и .

– +

На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .