I. Яка б не була пряма, існують точки, які належать цій прямій, і точки, які не належать їй. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.

С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Це значить, що якщо дві різні прямі а й b мають спільну точку С, то існує площина γ, яка містить прямі а і b. Площина, що має цю властивість, єдина.

Таким чином, система аксіом стереометрії складається з аксіом I-IX планіметрії і групи аксіом С.

Зауваження. У планіметрії ми мали одну площину, на якій розміщалися всі розглянуті фігури. У стереометрії багато, навіть нескінченно багато, площин. У зв'язку із цим формулювання деяких аксіом планіметрії, як аксіом стереометрії, вимагають уточнення. Це стосується, наприклад, аксіом IV, VII, VIII, IX. Наведемо ці уточнені формулювання.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

VII. Від напівпрямої на площині, яка містить її, можна відкласти в задану півплощину кут з даною градусною мірою, меншою 1800, і тільки один.

VIII. Яким би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині у заданому розміщенні відносно даної напівпрямої у цій площині.

IX. На площині через дану точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести не більш яу одну пряму, паралельну даної.

Для зручності викладу нагадаємо аксіому I.

I. Яка б не була пряма, існують точки, які належать цій прямій, і точки, які не належать їй. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.

1. Існування площини, що проходить через дану пряму й дану точку

Теорема 1.1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Доведення. Нехай АВ— дана пряма й С — точка, яка не лежить на ній (рис. 2). Проведемо через точки А и С пряму (аксіома I). Прямі АВ і АС різні, тому що точка С не лежить на прямій АВ.

 

 

Мал. 2 Мал.3

 

Проведемо через прямі АВ і АС площину α (аксіома С₃). Вона проходить через пряму АВ і точку С.

Доведемо, що площина α, яка проходить через пряму АВ і точку С, єдина.

Допустимо, існує інша площина α', що проходить через пряму АВ і точку С. По аксіомі С₂ площини α і α' перетинаються по прямій. Ця пряма має містити точки А, В, С. Але вони не лежать на одній прямій. Ми прийшли до суперечності. Теорему доведено.