Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x)- дифференцируемые функции, Тогда справедлива формула интегрирования по частям: =uv- .

Указанная формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла . Если принято решение об интегрировании по частям то это целесообразно производить следующим образом:

1) подынтегральное выражение содержит в виде сомножителя функции lnx, arcsinx, arccosx, arctgx. В качестве u(x) выбирают указанные функции;

2) подынтегральная функция имеет вид P(x) , P(x)sin ax, P(x)cos ax, где P(x)- многочлен относительно переменной x.

В качестве u(x) выбирают P(x).

3) подынтегральная функция имеет вид и т.д. После двукратного применения формулы интегрирования по частям получаем исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Решая уравнение находим искомый интеграл.

Примеры.

1) ). Полагаем u=lnx, dv=x^adx, тогда du=dlnx=(lnx)^’dx= ,

2) Полагаем u=arcsinx, dv=xdx, тогда

3) Полагаем

Для вычисления полагаем

Таким образом

4)

Полагаем

Чтобы вычислить полагаем

Далее или

.