Свойства определенного интеграла. Предполагаем, что все рассматриваемые ниже функции непрерывны на сегменте .

Предполагаем, что все рассматриваемые ниже функции непрерывны на сегменте .

а) Интеграл от суммы(разности) функций равен суме(разности) интегралов от этих функций: ;

б) постоянная выносится за знак интеграла:

в) определённый интеграл с равными нижним и верхним пределами равен нулю: ;

г) при перестановке пределов интегрирования, знак определённого интеграла меняется на противоположный:

г) для любых a,b,c справедливо

д) если на , то ,

е) если на , то ,

ж) ,

г) найдется такая точка , что

.

Следствие . При

Пусть - любая первообразная функции . Тогда имеет место формула Ньютона-Лейбница Замена переменной в определенном интеграле: пусть функция непрерывна на , а функция непрерывна вместе со своей производной на , причем , тогда справедлива формула:

.

Пусть - непрерывно дифференцируемые на функции. Формула интегрирования по частям имеет вид:

Примеры.

1.

;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

6.

= ;

7.

= ;

8. ; находим первообразную:

вычислим

,

вычислим

Подставим найденные первообразные и вычислим

=

= .