Понятие определённого интеграла, свойства, основные правила и приемы интегрирования.
Пусть определена на сегменте
Определение. Разбиение сегмента задано, если заданы точки такие, что
Обозначим через длину частичного сегмента Максимальную из этих длин обозначим которую назовём диаметром разбиения В частичном сегменте выберем произвольную точку
Определение. Выражение называется интегральной суммой и обозначается
Определение. Число называется пределом интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю, если для любого существуют такие что из условия при любом выборе промежуточных точек следует неравенство . При этом пишут
Определение. Функция называется интегрируемой на сегменте если для этой функции существует предел её интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю.
Число называется определённым интегралом от функции в пределах от а до в и обозначается
Числа и – пределы интегрирования ( – нижний предел, – верхний предел).
Примечание. Переменную х под знаком определённого интеграла
можно заменить на любую другую переменную: и т.д.
Теорема. Если функция непрерывна на сегменте , то она интегрируема на нём.
Пример. 1. Путь S, пройденный точкой за время со скоростью , есть S= .
2. Работа А, совершаемая над материальной точкой переменной силой f(x), есть .
3. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной непрерывной функции ,
снизу – осью Ох, с боков – прямыми равна
Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 620;