Первообразная. Неопределенный интеграл.

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на промежутке Х, если в любой точке х этого промежутка выполняется равенство F′(х)= ƒ(х)

Примеры.

1) Функция F(х)=tg х является первообразной для функции

ƒ(х)= на интервале (- ,+ ,) х ≠ +π n,

так как

2) Функция F(х) = является первообразной для функции

на интервале (-1,1), так как

3) Функция F(х)=lnx является первообразной для функции ƒ(х)= на интервале (0,+ ), так как (lnх)َ =

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) называется неопределенным интегралом от функции f(х) на Х и обозначается .

Здесь знак называется знаком интеграла, выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Если F(х) – одна из первообразных для f(х) на Х, то , где С- произвольная постоянная.

Примеры.

1) , так как функция F(х)=tgx – одна из первообразных для на Х .

2) на интервале ( ), так как функция F(x)=ln x одна из первообразных для ƒ на этом интервале.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ,2. ,

3. ,

4.

Таблица интегралов.

1. , в частности,

1.1 , 1.2 ; 2. , 3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11 ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. , 16. .

Примеры.

1) =

Здесь .

Проверка. 2. 2) .

Проверка. 3) , используется табличный интеграл , здесь ,

4) .

Проверка. .

5) , используется табличный интеграл, здесь a² =10, тогда a= .