Частные производные. Градиент.

Определение. Частной производной первого порядка функции двух переменных

по переменной х называется производная по х при условии, что переменная у является постоянной. Обозначается . Точно также определяется частная производная по переменной у. Обозначается . При этом постоянной будет х.

Пример. . Найти частные производные первого порядка.

Решение. .

Определение. Частной производной второго порядка функции двух переменных называется производная по х частной производной первого порядка при условии, что переменная у является постоянной. Находится по формуле

Аналогично определяется частная производная :

. Здесь х постоянна.

Смешанная частная производная второго порядка определяется по формуле:

или

Пример. Найти смешанную частную производную второго порядка , если

.

Решение. ,

.

Ответ. .

Определение. Частной производной первого порядка по одной из переменной функции называется производная по этой переменной, при условии, что две другие остаются постоянными. Обозначаются .

Пример. . Найти частные производные первого порядка.

Решение.

Определение. Градиентом скалярного поля в точке называется вектор , определяемый по правилу .